Среднее геометрическое взвешенное

Среднее геометрическое взвешенное — разновидность среднего значения, обобщение среднего геометрического. Для набора неотрицательных вещественных чисел $x_{1},\ldots ,x_{n}$ с вещественными весами $w_{1},\ldots ,w_{n}$, такими что $\sum _{i=1}^{n}w_{i}\neq 0$, определяется как

${\bar {x}}=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)^{1/\sum _{i=1}^{n}w_{i}}=\quad \exp \left({\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}\;\sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln x_{i}\right)$.

Приведённые формулы имеют смысл для любых значений весов, кроме случаев, когда некоторые $x_{i}=0$ и соответствующие веса $w_{i}\leq 0$. Поэтому, как правило, полагают, что все числа $x_{i}>0$. Также обычно рассматриваются неотрицательные веса.

Если веса $w_{1},\ldots ,w_{n}$ нормированы к единице (то есть их сумма равна единице), то среднее геометрическое взвешенное принимает более простой вид:

${\bar {x}}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}=\exp \sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln x_{i}$.

Свойства

• Среднее арифметическое взвешенное логарифмов некоторых чисел равно логарифму среднего геометрического взвешенного этих чисел с теми же весами.
• Если все веса $w_{i}$ ($i=1,2,...,n$) равны между собой, то среднее геометрическое взвешенное становится обычным средним геометрическим.

Пример использования

Пусть дано дискретное распределение вероятностей $P=\{p_{i}|\,i=1,2,...,N\}$. Обозначим через ${\overline {N}}$ среднее геометрическое взвешенное от величин $1/p_{i}$ с весами $p_{i}$, т.е.

${\overline {N}}=\prod _{i=1}^{N}{(1/p_{i})}^{p_{i}}$.

Тогда энтропию Шеннона распределения $P$ можно записать в виде

$H(P)=\log {\overline {N}}=-\sum _{i=1}^{N}p_{i}\log p_{i}$.

Величина ${\overline {N}}$ интерпретируется как эффективное количество состояний системы.