Равнобочная гипербола — простейший пример дробно-линейной функцииДро́бно-лине́йная фу́нкция — это числовая функция , которая может быть представлена в виде дроби, числителем и знаменателем которой являются линейные функции .
Дробно-линейная функция, отображающая в общем случае многомерное числовое пространство в одномерное числовое, представляет собой важный частный случай:
Дробно-линейная функция — это числовая функция вида
U
n
→
U
:
w
=
L
(
u
1
,
u
2
,
…
,
u
n
)
=
a
1
u
1
+
a
2
u
2
+
⋯
+
a
n
u
n
+
b
c
1
u
1
+
c
2
u
2
+
⋯
+
c
n
u
n
+
d
,
{\displaystyle \mathbb {U} ^{n}\to \mathbb {U} :w=L(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})={\frac {a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2}+\cdots +a_{n}u_{n}+b}{c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2}+\cdots +c_{n}u_{n}+d}},}
где
U
{\displaystyle \mathbb {U} }
комплексные (
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
вещественные (
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
u
1
,
u
2
,
…
,
u
n
{\displaystyle u_{1},u_{2},\dots ,u_{n}}
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
,
{\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},}
c
1
,
c
2
,
…
,
c
n
,
{\displaystyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{n},}
b
,
d
{\displaystyle b,d}
|
c
1
|
+
|
c
2
|
+
⋯
+
|
c
n
|
+
|
d
|
>
0
{\displaystyle |c_{1}|+|c_{2}|+\dots +|c_{n}|+|d|>0}
[1] Возможно обобщение на кватернионы [2]
Вырожденные случаи[1]
|
c
1
|
=
|
c
2
|
=
⋯
=
|
c
n
|
=
0
,
{\displaystyle |c_{1}|=|c_{2}|=\dots =|c_{n}|=0,}
то дробно-линейная функция становится целой линейной функций ;
(
a
1
a
2
…
a
n
b
c
1
c
2
…
c
n
d
)
{\displaystyle \left({\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n}&b\\c_{1}&c_{2}&\ldots &c_{n}&d\end{array}}\right)}
равен единице, то дробно-линейная функция вырождается в постоянную . У собственно (невырожденной) дробно-линейной функции[1]
|
c
1
|
+
|
c
2
|
+
⋯
+
|
c
n
|
>
0
;
{\displaystyle |c_{1}|+|c_{2}|+\dots +|c_{n}|>0;}
равен двум ранг матрицы
(
a
1
a
2
…
a
n
b
c
1
c
2
…
c
n
d
)
.
{\displaystyle \left({\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n}&b\\c_{1}&c_{2}&\ldots &c_{n}&d\end{array}}\right).}
Вещественная дробно-линейная функция — это числовая функция вида
R
n
→
R
:
y
=
L
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
=
a
1
x
1
+
a
2
x
2
+
⋯
+
a
n
x
n
+
b
c
1
x
1
+
c
2
x
2
+
⋯
+
c
n
x
n
+
d
,
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} :y=L(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})={\frac {a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}+b}{c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots +c_{n}x_{n}+d}},}
где
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
вещественные числа,
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
,
{\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},}
c
1
,
c
2
,
…
,
c
n
,
{\displaystyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{n},}
b
,
d
{\displaystyle b,d}
|
c
1
|
+
|
c
2
|
+
⋯
+
|
c
n
|
+
|
d
|
>
0
{\displaystyle |c_{1}|+|c_{2}|+\dots +|c_{n}|+|d|>0}
[1]
Равнобочная гипербола как вещественная дробно-линейная функция
2
x
−
1
x
+
2
{\displaystyle {\frac {2x-1}{x+2}}}
x
=
−
2
/
1
=
2
{\displaystyle x=-2/1=2}
y
=
2
/
1
=
2
{\displaystyle y=2/1=2}
a
d
−
b
c
=
5
>
0
{\displaystyle ad-bc=5>0}
В простейшем случае
n
=
1
{\displaystyle n=1}
x
1
=
x
,
{\displaystyle x_{1}=x,}
a
1
=
a
,
{\displaystyle a_{1}=a,}
b
,
{\displaystyle b,}
c
1
=
c
,
{\displaystyle c_{1}=c,}
d
{\displaystyle d}
график дробно-линейной функции — равнобочная гипербола с асимптотами
x
=
−
d
/
c
{\displaystyle x=-d/c}
и
y
=
a
/
c
,
{\displaystyle y=a/c,}
параллельными осям координат:[1]
Пусть дробно-линейная функция одного переменного
y
=
a
x
+
b
c
x
+
d
{\displaystyle y={\frac {ax+b}{cx+d}}}
несократима, то есть
a
d
−
b
c
≠
0
{\displaystyle ad-bc\neq 0}
c
≠
0
{\displaystyle c\neq 0}
x
{\displaystyle x}
[3]
y
=
a
c
x
+
b
c
x
+
d
c
=
a
c
(
x
+
d
c
)
+
(
b
c
−
a
d
c
2
)
x
+
d
c
=
{\displaystyle y={\frac {{\frac {a}{c}}x+{\frac {b}{c}}}{x+{\frac {d}{c}}}}={\frac {{\frac {a}{c}}\left(x+{\frac {d}{c}}\right)+\left({\frac {b}{c}}-{\frac {ad}{c^{2}}}\right)}{x+{\frac {d}{c}}}}=}
=
a
c
−
a
d
−
b
c
c
2
(
x
+
d
c
)
.
{\displaystyle ={\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{c^{2}(x+{\frac {d}{c}})}}.}
Теперь ясно, что график функции
a
x
+
b
c
x
+
d
{\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d}}}
1
x
{\displaystyle {\frac {1}{x}}}
растяжением в
|
a
d
−
b
c
c
2
|
{\displaystyle \left|{\frac {ad-bc}{c^{2}}}\right|}
O
y
{\displaystyle Oy}
a
d
−
b
c
>
0
{\displaystyle ad-bc>0}
O
x
{\displaystyle Ox}
перенесением параллельно оси
O
x
{\displaystyle Ox}
−
d
c
{\displaystyle -{\frac {d}{c}}}
перенесением параллельно оси
O
y
{\displaystyle Oy}
a
c
{\displaystyle {\frac {a}{c}}}
Таким образом, дробно-линейная функция одного переменного
a
x
+
b
c
x
+
d
{\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d}}}
x
=
−
d
c
{\displaystyle x=-{\frac {d}{c}}}
y
=
a
c
{\displaystyle y={\frac {a}{c}}}
асимптоты гиперболы, взаимно перпендикулярные и параллельные осям координат, а точка пересечения асимптот
(
−
d
c
,
a
c
)
{\displaystyle \left(-{\frac {d}{c}},{\frac {a}{c}}\right)}
[3]
Также очевидно, что дробно-линейная функция одного переменного
a
x
+
b
c
x
+
d
{\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d}}}
[3]
«теряет смысл», то есть не имеет никакого значения, перестаёт «существовать» в точке
x
=
−
d
c
{\displaystyle x=-{\frac {d}{c}}}
на интервалах
(
−
∞
,
−
d
c
)
{\displaystyle \left(-\infty ,-{\frac {d}{c}}\right)}
(
−
d
c
,
+
∞
)
{\displaystyle \left(-{\frac {d}{c}},+\infty \right)}
a
d
−
b
c
>
0
{\displaystyle ad-bc>0}
a
d
−
b
c
<
0
{\displaystyle ad-bc<0}
при неограниченном увеличении
|
x
|
{\displaystyle |x|}
a
c
{\displaystyle {\frac {a}{c}}}
a
x
+
b
c
x
+
d
=
a
+
b
x
c
+
d
x
.
{\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d}}={\frac {a+{\frac {b}{x}}}{c+{\frac {d}{x}}}}.}
Производная
(
a
c
−
a
d
−
b
c
c
2
(
x
+
d
c
)
)
′
=
a
d
−
b
c
c
2
(
x
+
d
c
)
2
.
{\displaystyle \left({\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{c^{2}(x+{\frac {d}{c}})}}\right)'={\frac {ad-bc}{c^{2}(x+{\frac {d}{c}})^{2}}}.}
Неопределённый интеграл :
∫
(
a
c
−
a
d
−
b
c
c
2
(
x
+
d
c
)
)
d
x
=
a
c
x
−
a
d
−
b
c
c
2
ln
|
x
+
d
c
|
+
C
.
{\displaystyle \int \left({\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{c^{2}(x+{\frac {d}{c}})}}\right)dx={\frac {a}{c}}x-{\frac {ad-bc}{c^{2}}}\ln \left|x+{\frac {d}{c}}\right|+C.}
Сначала приведём функцию
y
=
a
c
−
a
d
−
b
c
c
2
(
x
+
d
c
)
{\displaystyle y={\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{c^{2}(x+{\frac {d}{c}})}}}
преобразованиями координат к виду
y
′
=
m
x
′
.
{\displaystyle y'={\frac {m}{x'}}.}
Для этого сделаем следующие замены:
x
′
=
x
+
d
c
,
{\displaystyle x'=x+{\frac {d}{c}},}
y
′
=
y
−
a
c
,
{\displaystyle y'=y-{\frac {a}{c}},}
m
=
−
a
d
−
b
c
c
2
,
{\displaystyle m=-{\frac {ad-bc}{c^{2}}},}
получим требуемый вид функции[4]
Теперь повернём координатные оси на угол
45
∘
,
{\displaystyle 45^{\circ },}
x
′
=
x
″
cos
(
45
∘
)
−
y
″
sin
(
45
∘
)
=
x
″
−
y
″
2
,
{\displaystyle x'=x''\cos(45^{\circ })-y''\sin(45^{\circ })={\frac {x''-y''}{\sqrt {2}}},}
y
′
=
x
″
sin
(
45
∘
)
+
y
″
cos
(
45
∘
)
=
x
″
+
y
″
2
,
{\displaystyle y'=x''\sin(45^{\circ })+y''\cos(45^{\circ })={\frac {x''+y''}{\sqrt {2}}},}
получим в новых координатах[4]
x
′
y
′
=
m
,
{\displaystyle x'y'=m,}
x
″
−
y
″
2
x
″
+
y
″
2
=
m
,
{\displaystyle {\frac {x''-y''}{\sqrt {2}}}{\frac {x''+y''}{\sqrt {2}}}=m,}
x
″
2
2
m
−
y
″
2
2
m
=
1.
{\displaystyle {\frac {x''^{2}}{2m}}-{\frac {y''^{2}}{2m}}=1.}
Последнее уравнение есть каноническое уравнение равносторонней гиперболы с полуосями
a
=
b
=
2
|
m
|
.
{\displaystyle a=b={\sqrt {2|m|}}.}
[4]
Гиперболический параболоид В случае
n
=
2
{\displaystyle n=2}
x
1
,
{\displaystyle x_{1},}
x
2
,
{\displaystyle x_{2},}
a
1
,
{\displaystyle a_{1},}
a
2
,
{\displaystyle a_{2},}
b
,
{\displaystyle b,}
c
1
,
{\displaystyle c_{1},}
c
2
,
{\displaystyle c_{2},}
d
{\displaystyle d}
y
=
a
1
x
1
+
a
2
x
2
+
b
c
1
x
1
+
c
2
x
2
+
d
{\displaystyle y={\frac {a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+b}{c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+d}}}
представляет собой гиперболический параболоид [1]
Комплексная дробно-линейная функция — это числовая функция вида
C
n
→
C
:
w
=
L
(
z
1
,
z
2
,
…
,
z
n
)
=
a
1
z
1
+
a
2
z
2
+
⋯
+
a
n
z
n
+
b
c
1
z
1
+
c
2
z
2
+
⋯
+
c
n
z
n
+
d
,
{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} :w=L(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})={\frac {a_{1}z_{1}+a_{2}z_{2}+\cdots +a_{n}z_{n}+b}{c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+\cdots +c_{n}z_{n}+d}},}
где
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
комплексные числа,
z
1
,
z
2
,
…
,
z
n
{\displaystyle z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}}
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
,
{\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},}
c
1
,
c
2
,
…
,
c
n
,
{\displaystyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{n},}
b
,
d
{\displaystyle b,d}
|
c
1
|
+
|
c
2
|
+
⋯
+
|
c
n
|
+
|
d
|
>
0
{\displaystyle |c_{1}|+|c_{2}|+\dots +|c_{n}|+|d|>0}
[1] При
n
=
1
{\displaystyle n=1}
C
→
C
:
w
=
L
(
z
)
=
a
z
+
b
c
z
+
d
{\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} :w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}
аналитическая функция одной комплексной переменной всюду в расширенной комплексной плоскости
C
^
=
C
∪
{
∞
}
{\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}
z
=
−
d
/
c
{\displaystyle z=-d/c}
простой полюс [1]
При
n
⩾
1
{\displaystyle n\geqslant 1}
C
n
→
C
:
w
=
L
(
z
1
,
z
2
,
…
,
z
n
)
=
a
1
z
1
+
a
2
z
2
+
⋯
+
a
n
z
n
+
b
c
1
z
1
+
c
2
z
2
+
⋯
+
c
n
z
n
+
d
,
{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} :w=L(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})={\frac {a_{1}z_{1}+a_{2}z_{2}+\cdots +a_{n}z_{n}+b}{c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+\cdots +c_{n}z_{n}+d}},}
мероморфная функция в пространстве
C
n
{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
z
1
,
z
2
,
…
,
z
n
{\displaystyle z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}}
{
z
∈
C
n
;
c
1
z
1
+
c
2
z
2
+
⋯
+
c
n
z
n
+
d
=
0
}
{\displaystyle \{z\in \mathbb {C} ^{n};c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+\cdots +c_{n}z_{n}+d=0\}}
[1]
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Математическая энциклопедия , т. 2, 1979↑ Alan F. Beardon. The geometry of discrete groups, 1983↑ 1 2 3 Энциклопедия элементарной математики . Книга третья, 1952↑ 1 2 3 Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии, 2005
Ефимов Н. В. ISBN 5-9221-0252-4 .Математическая энциклопедия И. М. Виноградов , т. 2 Д—Коо. М.: «Советская Энциклопедия», 1979. 1104 стб., ил.Энциклопедия элементарной математики . Книга третья. Функции и пределы (основы анализа) / Под ред. П. С. Александрова , А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина . М., Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1952. 559 с., ил.Alan F. Beardon. The geometry of discrete groups. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1983. 337 p., 93 ill.
