U(1)

$U(1)$ (унитарная группа порядка 1) — мультипликативная абелева группа всех комплексных чисел, равных по модулю единице: $\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}$. Является одномерной группой Ли, изоморфна группе $SO(2)$ вращений плоскости и диффеоморфна окружности.

Названия и обозначения

Группа называется унитарной, так как комплексное число, по модулю равное единице, можно понимать как унитарную матрицу размера $1\times 1$. Данная группа естественным образом изоморфна группе $SO(2)$ вращений вещественной плоскости (так как комплексную плоскость можно рассматривать как вещественное двумерное пространство). Обозначается иногда как $T$ или $\mathbb {T}$ в связи с тем, что квадрат этой группы $\mathbb {T} \times \mathbb {T}$ представляет собой тор; в некоторых областях математики торами называют произведения нескольких групп $\mathbb {T}$, не обязательно двух; см. напр. Максимальный тор.

$U(1)$ упоминается также как комплексная (единичная) окружность (в комплексном анализе: $\partial D$) или просто «окружность» ($S$ или $S^{1}$).

Некоторые свойства

Группа $U(1)$ компактна и является единственно возможной (вещественной) одномерной компактной и связной группой Ли. В любой компактной группе Ли положительной размерности можно найти подгруппу, изоморфную $U(1)$.

Группа $U(1)$ не является односвязной.

Элементарное толкование

Сложение углов:
150° + 270° = 60°

Элементы группы $U(1)$ фактически определяют величину угла: комплексное число $z$ группы можно записать как $z=e^{i\phi }$ (причём $\phi$ будет уже вещественным), а умножение комплексных чисел перейдёт в сложение углов. Таким образом, группу $U(1)$ можно понимать как группу поворотов окружности, или же группу поворотов $SO(2)$ всей плоскости вокруг начала координат.

Углы, различающиеся на целое число оборотов ($2\pi n$, если мерить угол в радианах), будут совпадать. Например, сумма двух поворотов на $120^{\circ }=2\pi /3$ и $240^{\circ }=4\pi /3$ будет равна нулю. Таким образом, группа $U(1)$ изоморфна факторгруппе ${\mathbb {R} }/2\pi {\mathbb {Z} }$ группы вещественных чисел по модулю $2\pi$. Если измерять угол в оборотах ($2\pi =360^{\circ }$), то $U(1)\approx {\mathbb {R} }/{\mathbb {Z} }$ — группа дробных частей вещественных чисел.

Применение

Группа $U(1)$ является важнейшим объектом в теории двойственности Понтрягина; через неё определяется преобразование Фурье. Часто используется в любом контексте, вовлекающем комплексные числа, зачастую без прямого её упоминания как группы («умножение на число, по модулю равное единице» и т. д.).

В физике калибровочная $U(1)$-теория — электродинамика (с уравнениями Максвелла в качестве классических уравнений движения). В квантовой механике $U(1)$ — «физически неразличимые» преобразования вектора состояния системы, не меняющие ничего наблюдаемого (то есть не меняющие ничего, в принципе доступного наблюдению). См. также Калибровочная инвариантность.

На свойствах $U(1)$ основан метод тригонометрических сумм.

См. также

• Единичная окружность
• Фаза колебаний
• Унитарная группа
• Специальная унитарная группа