Топологическое пространство

Топологи́ческое простра́нство — основной объект изучения топологии (термин «топология» в его рамках — см. ниже). Исторически, понятие топологического пространства появилось как обобщение метрического пространства, в котором рассматриваются только свойства непрерывности.

Топологические пространства естественным образом возникают почти во всех разделах математики.

Определение

Пусть дано множество $X$. Система ${\mathcal {T}}$ его подмножеств называется тополо́гией на $X$, если выполнены следующие условия:

1. Объединение произвольного семейства множеств, принадлежащих ${\mathcal {T}}$, принадлежит ${\mathcal {T}}$, то есть если $U_{\alpha }\in {\mathcal {T}}\quad \forall \alpha \in A$, то $\bigcup \limits _{\alpha \in A}U_{\alpha }\in {\mathcal {T}}$.
2. Пересечение конечного семейства множеств, принадлежащих ${\mathcal {T}}$, принадлежит ${\mathcal {T}}$, то есть если $U_{i}\in {\mathcal {T}}\quad i=1,\;\ldots ,\;n$, то $\bigcap \limits _{i=1}^{n}U_{i}\in {\mathcal {T}}$.
3. $X,\;\varnothing \in {\mathcal {T}}$.

Пара $(X,\;{\mathcal {T}})$ называется топологическим пространством. Множества, принадлежащие ${\mathcal {T}}$, называются открытыми множествами.

Примеры

• Связное двоеточие — двуточечное топологическое пространство.

• Вещественная прямая $\mathbb {R}$ является топологическим пространством, если, например, назвать открытыми множествами произвольные (пустые, конечные или бесконечные) объединения конечных или бесконечных интервалов. Множество всех конечных открытых интервалов $\{(a,\;b)\mid a,\;b\in \mathbb {R} \}$ является базой этой топологии. Это — стандартная топология на прямой. Вообще же на множестве вещественных чисел можно ввести очень разнообразные топологии, например, $\mathbb {R} _{\to }$, прямая с «топологией стрелки», где открытые множества имеют вид $(a,\infty )$, или топология Зарисского, в которой любое замкнутое множество — это конечное множество точек.

• Вообще, евклидовы пространства $\mathbb {R} ^{n}$ являются топологическими пространствами. Базой их стандартной топологии можно выбрать открытые шары или открытые кубы.

• Обобщая далее, всякое метрическое пространство является топологическим пространством, базу топологии которого составляют открытые шары. Таковы, например, изучаемые в функциональном анализе бесконечномерные пространства функций.

• Рассмотрим множество $C(X,\;Y)$ непрерывных отображений топологического пространства $X$ в топологическое пространство $Y$. Оно является топологическим пространством относительно следующей топологии, которая называется компактно-открытой. Зададим предбазу множествами $C(K,\;U)$, состоящими из отображений, при которых образ компакта $K$ в $X$ лежит в открытом множестве $U$ в $Y$.

• Произвольное множество $X$ можно сделать топологическим пространством, если называть открытыми все его подмножества. Такая топология называется дискретной. В ней любые множества являются открытыми. Другой предельный случай — назвать открытыми минимально возможное количество подмножеств $X$, а именно, ввести тривиальную топологию — в ней открытыми являются лишь пустое множество и само пространство $X$.

Способы задания топологии

Задание топологии с помощью базы или предбазы

Основная статья: База топологии

Не всегда удобно перечислять все открытые множества. Часто удобнее указать некоторый меньший набор открытых множеств, который порождает их все. Формализацией этого является понятие базы топологии. Подмножество топологии ${\mathfrak {B}}\subset {\mathcal {T}}$ называется базой топологии, если всякое открытое множество представляется как объединение множеств из ${\mathfrak {B}}$, то есть

$\forall U\in {\mathcal {T}}\;\exists \{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}\subset {\mathfrak {B}}\colon U=\bigcup \limits _{\alpha \in A}U_{\alpha }.$

Еще более экономный способ задания топологии состоит в задании её предбазы — множества, которое становится базой, если к нему прибавить произвольные конечные пересечения его элементов. Для того, чтобы систему множеств ${\mathfrak {P}}$ можно было объявить предбазой топологии, необходимо и достаточно, чтобы она покрывала всё множество $X$.

Наиболее часто предбазы используются для задания топологии, индуцированной на $X$ семейством отображений (см. далее).

Индуцированная топология

Пусть $f:X\to Y$ — произвольное отображение, множества $X$ в топологическое пространство $Y$. Индуцированная топология даёт естественный способ введения топологии на $X$: За открытые множества в $X$ берутся всевозможные прообразы открытых множеств в $Y$; то есть $U\in X$ открыто, если существует открытое $V\in Y$ такое что $U=f^{-1}V$.

Задание топологии с помощью замкнутых множеств

Множество $F\subset X$ называется замкнутым, если его дополнение $U=X\setminus F$ — открытое множество. Задать топологию на $X$ системой замкнутых множеств — значит предъявить систему ${\mathcal {P}}$ подмножеств X со свойствами:

1. Система ${\mathcal {P}}$ замкнута относительно операции пересечения множеств (в том числе бесконечных семейств):

   $\forall \alpha \in A\quad F_{\alpha }\in {\mathcal {P}}\Rightarrow \bigcap \limits _{\alpha \in A}F_{\alpha }\in {\mathcal {P}}$

2. Система ${\mathcal {P}}$ замкнута относительно операции объединения множеств (в конечном количестве):

   $F_{1},\;F_{2}\in {\mathcal {P}}\Rightarrow F_{1}\cup F_{2}\in {\mathcal {P}}$

3. Множества $X,\;\varnothing$ включены в систему ${\mathcal {P}}$.

Если система множеств с такими свойствами задана, с помощью операции дополнения строится система ${\mathcal {T}}$открытых множеств, задающая топологию на $X$.

${\mathcal {T}}=\{X\setminus F:F\in {\mathcal {P}}\}.$

Пример. Пусть $B$ — произвольное коммутативное кольцо с единицей. Спектром кольца $B$ называется множество $X=\mathrm {Spec} \,B$ всех его простых идеалов. На множестве $X$ топология вводится с помощью системы замкнутых множеств: пусть ${\mathfrak {a}}$ — произвольный идеал кольца $B$ (не обязательно простой), тогда ему соответствует множество

$V({\mathfrak {a}})=\{{\mathfrak {p}}\in X:{\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {p}}\}.$

Все множества такого вида образуют систему множеств, удовлетворяющую перечисленным аксиомам, так как

$\bigcap \limits _{\alpha \in A}V({\mathfrak {a}}_{\alpha })=V\left(\sum \limits _{\alpha \in A}{\mathfrak {a}}_{\alpha }\right),\quad V({\mathfrak {a}})\cup V({\mathfrak {b}})=V({\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}}),\quad V((0))=X,\quad V((1))=\varnothing .$

Спектр кольца — фундаментальный объект алгебраической геометрии.

Пример. Топология Зарисского в пространстве $X=\mathbf {C} ^{n}$ также задаётся с помощью системы замкнутых множеств. Замкнутыми множествами в топологии Зарисского принимаются все множества, являющиеся множеством общих нулей конечной системы многочленов. Выполнение аксиом системы замкнутых множеств следует из нётеровости кольца многочленов $\mathbf {C} [z_{1},\;z_{2},\;\ldots ,\;z_{n}]$ и того факта, что общие нули произвольной системы многочленов совпадают с общими нулями идеала, который они образуют.

Пространство $X=\mathbf {C} ^{n}$ естественно вложено в спектр кольца многочленов $Y=\mathrm {Spec} \,\mathbf {C} [z_{1},\;z_{2},\;\ldots ,\;z_{n}]$ (оно совпадает с множеством всех его замкнутых точек), и топология Зарисского на $X$ совпадает с той, что индуцирована топологией пространства $Y$.

Непрерывные отображения

Понятие топологии является минимально необходимым для того, чтобы говорить о непрерывных отображениях. Интуитивно непрерывность есть отсутствие разрывов, то есть близкие точки при непрерывном отображении должны переходить в близкие. Оказывается, для определения понятия близости точек можно обойтись без понятия расстояния. Именно это и есть топологическое определение непрерывного отображения.

Отображение топологических пространств $f:(X,\;{\mathcal {T}}_{X})\to (Y,\;{\mathcal {T}}_{Y})$ называется непрерывным, если прообраз всякого открытого множества открыт.

Категория $\mathrm {Top}$ всех топологических пространств, морфизмы которой — непрерывные отображения, является одной из важнейших категорий в математике. Попыткам классифицировать объекты этой категории при помощи алгебраических инвариантов посвящен раздел математической науки, который называется алгебраической топологией. Изучению понятий непрерывности, а также других понятий, таких как компактность или отделимость, как таковых, без обращения к другим инструментам, посвящена общая топология.

См. также

• Словарь терминов общей топологии