Вполне несвязное пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В топологии и связанных разделах математики вполне несвязное пространство — это топологическое пространство, которое не имеет нетривиальных связных подмножеств. В любом топологическом пространстве пустое множество и одноточечные множества — связные. Во вполне несвязном пространстве это единственные связные подмножества.

Важным примером вполне несвязного пространства является множество Кантора. Другим примером, играющим ключевую роль в алгебраической теории чисел, является поле p-адических чисел \mathbb{Q}_p.

Определение[править | править вики-текст]

Топологическое пространство X называется вполне несвязным, если связными компонентами X являются только одноточечные множества.

Примеры[править | править вики-текст]

Свойства[править | править вики-текст]

Конструирование несвязного пространства[править | править вики-текст]

Пусть X — произвольное топологическое пространство. Пусть x\sim y тогда и только тогда, когда y\in \mathrm{conn}(x) (где \mathrm{conn}(x) обозначает максимальное связное подмножество, содержащее x). Очевидно, отношение \sim является отношением эквивалентности, следовательно можно построить соответствующее факторпространство X/{\sim}. Топология на X/{\sim} естественным образом индуцируется топлогией на X, а именно, открытые подмножества X/{\sim} — это в точности те множества классов эквивалентности, прообраз которых при отображении факторизации является открытым в X. Приложив немного усилий, можно показать, что X/{\sim} является вполне несвязным. Мы также имеем следующее универсальное свойство: если f : X\rightarrow Y — непрерывное отображение во вполне несвязное пространство, то оно единственным образом представимо в виде f=\breve{f}\circ m, где отображение \breve{f}:(X/\sim)\rightarrow Y непрерывно, а m — отображение факторизации.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]