Ортогональные многочлены

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике последовательностью ортогональных многочленов называют бесконечную последовательность действительных многочленов

~p_0(x),\ p_1(x),\ p_2(x),\ \ldots,

где каждый многочлен ~p_n(x) имеет степень ~n, а также любые два различных многочлена этой последовательности ортогональны друг другу в смысле некоторого скалярного произведения, заданного в пространстве ~L^2.


Понятие ортогональных многочленов было введено в конце XIX в. в работах Чебышёва П. Л. по непрерывным дробям и позднее развито Марковым А. А. и Стилтьесом Т. И. и нашло различные применения во многих областях математики и физики.

Определение[править | править вики-текст]

Ортогональность с весом[править | править вики-текст]

Пусть ~(a,b)промежуток на вещественной оси (конечный или бесконечный). Этот промежуток называется интервалом ортогональности. Пусть

w : ~(a,b) \to \mathbb{R}

заданная непрерывная, строго положительная внутри промежутка ~(a,b) функция. Такая функция называется весовой или просто весом. Функция ~w(x) связана с пространством функций ~L_{2}, для которых сходится интеграл

\int_{a}^{b} \left[f(x)\right]^2 w(x) \; dx < \infty .

В полученном пространстве можно ввести скалярное произведение по формуле

\langle f, g \rangle = \int_{a}^{b} f(x) g(x) w(x) \; dx для вещественных функций,
\langle f, g \rangle = \int_{a}^{b} f(x) \overline{g(x)} w(x) \; dx для комплекснозначных функций.

Если скалярное произведение двух функций равно нулю ~\langle f, g \rangle = 0, то такие функции называются ортогональными с весом ~w(x). Как правило, среди ортогональных полиномов рассматриваются только вещественных функции.

Классическая формулировка[править | править вики-текст]

Систему многочленов

~p_0(x),p_1(x),\cdots,p_n(x),\cdots

называют ортогональной, если

  1. ~p_n(x) — многочлен степени ~n,
  2. \langle p_m,p_n \rangle = \delta_{mn} h_{n}, где ~\delta_{mn} — символ Кронекера, ~h_{n} — нормировочный множитель.

Ортогональный базис называется ортонормированным, если все его элементы имеют единичную норму ||p_n||=h_n=1. Некоторые классические многочлены, представленные ниже, могут быть нормированы по какому-либо другому правилу. Для таких многочленов значения ~h_n отличаются от единицы и указаны в таблице внизу.

Общие свойства последовательностей ортогональных многочленов[править | править вики-текст]

Рекуррентные соотношения[править | править вики-текст]

Любые ортогональные полиномы удовлетворяют следующей рекуррентной формуле, связывающей три последовательных многочлена из системы:

{p_{n+1}(x)\ =\ (A_nx+B_n)\ p_n(x)\ -\ C_n\ p_{n-1}(x)},

где

A_n=\frac{k_{n+1}}{k_n},\quad B_n=A_n \left(r_{n+1}-r_n \right), \quad C_n= \frac {A_n h_n} {A_{n-1} h_{n-1}},
r_n=\frac{k'_n}{k_n}, \quad h_n= \langle p_n(x),p_n(x) \rangle,
~k_n и ~k'_n — коэффициенты при членах ~x^n и ~x^{n-1} в полиноме ~p_n(x).

Эта формула остаётся справедливой и для ~n=0, если положить ~p_{-1}(x)=0.

Формула Кристоффеля-Дарбу[править | править вики-текст]

\sum_{k=0}^{n}\frac{p_k(x)p_k(y)}{h_k}=\frac{k_n}{k_{n+1}h_n}\frac{p_{n+1}(x)p_n(y)-p_{n+1}(y)p_n(x)}{x-y},

или при y \to x

\sum_{k=0}^{n}h_k^{-1}\left[p_k(x)\right]^2=\frac{k_n}{k_{n+1}h_n}\left[p'_{n+1}(x)p_n(x)-p_{n+1}(x)p'_n(x)\right]

Корни многочленов[править | править вики-текст]

Все корни многочлена ~p_n(x) являются простыми, вещественными и все расположены внутри интервала ортогональности ~\left[a;b\right].

Между двумя последовательными корнями многочлена ~p_n(x) расположен в точности один корень многочлена ~p_{n+1}(x) и по крайней мере один корень многочлена ~p_m(x), при ~m>n.

Минимальность нормы[править | править вики-текст]

Каждый многочлен p_n(x) в ортогональной последовательности имеет минимальную норму среди всех многочленов P_n(x) такой же степени и с таким же первым коэффициентом.

Полнота системы[править | править вики-текст]

Система ортогональных многочленов p_i(x) является полной. Это значит, что любой многочлен S(x) степени n может быть представлен в виде ряда

S(x)=\sum_{i=0}^n {\alpha}_i\ p_i(x),

где \alpha коэффициенты разложения.

Дифференциальные уравнения, приводящие к ортогональным многочленам[править | править вики-текст]

Очень важный класс ортогональных многочленов возникает при решении дифференциального уравнения следующего вида:

{Q(x)}\,f'' + {L(x)}\,f' + {\lambda}f = 0,\,

где Q(x) и L(x) заданные многочлены второго и первого порядка, соответственно, а f(x) и \lambda неизвестные функция и коэффициент. Это уравнение называется задачей Штурма — Лиувилля и может быть переписано в его более стандартной форме

(R(x)y')' + W(x)\,\lambda\,y = 0,\,\,

где \,R(x) = e^{\int\frac{L(x)}{Q(x)}\,dx},\, W(x) =\frac{R(x)}{Q(x)}.\, Решение этого уравнения приводит к множеству собственных чисел {\lambda}_0, {\lambda}_1, {\lambda}_2, \dots и множеству собственных функций P_0, P_1, P_2, \dots\,, обладающих следующими свойствами:

  • P_n(x) - полином степени n, зависящий от {\lambda}_n
  • последовательность P_0, P_1, P_2, \dots\, ортогональна с весовой функцией W(x)
  • Промежуток ортогональности зависит от корней многочлена Q, причём корень L находится внутри промежутка ортогональности
  • Числа \lambda_n и полиномы P_n(x) могут быть получены из формул
{\lambda}_n = - n \left( \frac{n-1}{2} Q'' + L' \right)
P_n(x) = \frac{1}{e_n\,W(x)} \  \frac{d^n}{dx^n}\left(W(x)[Q(x)]^n\right)\, формула Родрига.

Дифференциальное уравнение имеет нетривиальные решения только при выполнения одного из следующих условий. Во всех этих случаях при изменении масштаба или/и сдвига области определения и выбора способа нормировки многочлены решения сводятся к ограниченному набору классов, которые называются классическими ортогональными полиномами

1. Якобиподобные многочлены
Q — многочлен второго порядка, L — первого. Корни Q различны и действительны, корень L лежит строго между корнями Q. Первые коэффициенты Q и L имеют один знак. При помощи линейного преобразования уравнение сводится к Q(x)=1-x^2 с интервалом ортогональности [-1,1]. Решениями являются многочлены Якоби P_n^{(\alpha, \beta)}(x) или их частные случаи многочлены Гегенбауэра C_n^{(\alpha)}(x), Лежандра P_n(x) или Чебышёва обоих типов T_n(x), U_n(x).
2. Лягерроподобные многочлены
Q — многочлен первого порядка, L — первого. Корни Q и L различны. Первые коэффициенты Q и L имеют один знак, если корень L меньше корня Q и наоборот. Сводится к Q(x)=x и интервалу ортогональности [0,\infty). Решениями являются обобщённые многочлены Лягерра L_n^{(\alpha)}(x) или их частному случаю многочленам Лягерра L_n(x).
3. Эрмитоподобные многочлены
Q — не нулевая константа, L — первого. Первые коэффициенты Q и L имеют противоположный знак. Сводится к Q(x)=1 и интервалу ортогональности (-\infty,\infty). Решениями являются многочлены Эрмита H_n(x).

Производные ортогональных полиномов[править | править вики-текст]

Обозначим P_n^{m}(x) как m-ую производную полинома P_n(x). Производная P_n^{m}(x) является полиномом степени n-m и обладает следующими свойствами:

  • ортогональность
Для заданного m последовательность полиномов P_m^{m}, P_{m+1}^{m}, P_{m+2}^{m}, \dots ортогональна с весовой функцией W(x)[Q(x)]^m
P_n^{m} = \frac{1}{e_nW(x)[Q(x)]^m} \ \frac{d^{n-m}}{dx^{n-m}}\left(W(x)[Q(x)]^m\right)
  • дифференциальное уравнение
{Q(x)}\,y'' + (m\,Q'(x)+L(x))\,y' + [{\lambda}_n-{\lambda}_m]\ y = 0, где y(x)=P_n^{m}(x)
  • дифференциальное уравнение второго вида
(R(x)[Q(x)]^m\ y')' + [\lambda_n-\lambda_m]W(x)[Q(x)]^{m}\ y = 0, где y(x)=P_n^{m}(x)
  • рекуррентные соотношения (для удобства у коэффициентов a, b и c опущены индексы n и m)
P_n^{m}(x) = aP_{n+1}^{m+1}(x) + bP_n^{m+1}(x) + cP_{n-1}^{m+1}(x),\,
P_n^{m}(x) = (ax+b)P_n^{m+1}(x) + cP_{n-1}^{m+1}(x),\,
Q(x)P_n^{m+1}(x) = (ax+b)P_n^{m}(x) + cP_{n-1}^{m}(x).\,

Классические ортогональные многочлены[править | править вики-текст]

Классические ортогональные полиномы, которые происходят из дифференциального уравнения описанного выше, имеют много важных приложений в таких областях как: математическая физика, численные методы, и многие другие. Ниже приводятся их определения и основные свойства.

Многочлены Якоби[править | править вики-текст]

Многочлены Якоби обозначаются P_n^{(\alpha, \beta)}(x), где параметры \alpha и \beta вещественные числа больше −1. Если \alpha и \beta не равны, полиномы перестают быть симметричными относительно точки x=0.

  • Весовая функция W(x)=(1-x)^\alpha(1+x)^\beta на промежутке ортогональности [-1,1]
  • Дифференциальные уравнения
(1-x^2)\,y'' + (\beta-\alpha-[\alpha+\beta+2]\,x)\,y' + {\lambda}\,y = 0
  • Собственные числа
\lambda_n = n(n+1+\alpha+\beta)
  • Рекуррентная формула
P_{n+1}(x) = (A_n\,x+B_n)\,P_n(x) - C_n\,P_{n-1}(x),\,
где
A_n=\frac{(2n+1+\alpha+\beta)(2n+2+\alpha+\beta)}{2(n+1)(n+1+\alpha+\beta)},\,
B_n=\frac{({\alpha}^2-{\beta}^2)(2n+1+\alpha+\beta)}{2(n+1)(2n+\alpha+\beta)(n+1+\alpha+\beta)},\,
C_n=\frac{(n+\alpha)(n+\beta)(2n+2+\alpha+\beta)}{(n+1)(n+1+\alpha+\beta)(2n+\alpha+\beta)}\,
  • Нормировка
P_n^{(\alpha, \beta)}(1)=\frac{\Gamma(n+1+\alpha)}{n!\,\Gamma(1+\alpha)}, \qquad h_n=\frac{2^{\alpha+\beta+1}\,\Gamma(n\!+\!\alpha\!+\!1)\,\Gamma(n\!+\!\beta\!+\!1)}
{n!(2n\!+\!\alpha\!+\!\beta\!+\!1)\Gamma(n\!+\!\alpha\!+\!\beta\!+\!1)}, \qquad k_n=\frac{\Gamma(2n+1+\alpha+\beta)}{n!\,2^n\,\Gamma(n+1+\alpha+\beta)}, \qquad e_n=(-2)^n\,n!

Многочлены Гегенбауэра[править | править вики-текст]

Многочлены Гегенбауэра обозначаются C_n^{(\alpha)}(x), где параметр \alpha вещественное число больше −1/2. Он выводится из многочленов Якоби для равных параметров \alpha и \beta

C_n^{(\alpha)}(x) = \frac{\Gamma(2\alpha\!+\!n)\,\Gamma(\alpha\!+\!1/2)}
{\Gamma(2\alpha)\,\Gamma(\alpha\!+\!n\!+\!1/2)}\! \  P_n^{(\alpha-1/2, \alpha-1/2)}.

Остальные Якобиподобные многочлены являются частным случаем полиномов Гегенбауэра с выбранным параметром \alpha и соответствующей нормализацией.

  • Весовая функция W(x)=(1-x^2)^{\alpha-1/2} на промежутке ортогональности [-1,1]
  • Дифференциальные уравнения
(1-x^2)\,y'' + (2\alpha+1)\,x\,\,y' + {\lambda}\,y = 0
  • Собственные числа
\lambda_n = n(n+2\alpha)
  • Рекуррентная формула
(n+1)\,C_{n+1}^{(\alpha)}(x) = 2(n+\alpha)x\,C_n^{(\alpha)}(x) - (n+2\alpha-1)\,C_{n-1}^{(\alpha)}(x)\,
  • Нормировка
C_n^{(\alpha)}(1)=\frac{\Gamma(n+2\alpha)}{n!\,\Gamma(2\alpha)}\, если \alpha\ne0,\qquad  h_n=\frac{\pi\,2^{1-2\alpha}\Gamma(n+2\alpha)}{n!(n+\alpha)(\Gamma(\alpha))^2}, \qquad k_n=\frac{\Gamma(2n+2\alpha)\Gamma(\frac{1}{2}+\alpha)}{n!\,2^n\,\Gamma(2\alpha)\Gamma(n+\frac{1}{2}+\alpha)}, \qquad e_n = \frac{(-2)^n\,n!\,\Gamma(2\alpha)\,\Gamma(n+\frac{1}{2}+\alpha)}
{\Gamma(n+2\alpha)\Gamma(\alpha+\frac{1}{2})}
  • Прочие свойства
C_n^{(\alpha+1)}(x) = \frac{1}{2\alpha}\! \  \frac{d}{dx}C_{n+1}^{(\alpha)}(x)

Многочлены Лежандра[править | править вики-текст]

Многочлены Лежандра обозначаются P_n(x) и являются частным случаем многочленов Гегенбауэра с параметром \alpha=1/2

P_n(x) = C_n^{(1/2)}(x).\,

  • Весовая функция W(x)=1 на промежутке ортогональности [-1,1]
  • Дифференциальные уравнения
(1-x^2)\,y'' - 2x\,y' + {\lambda}\,y = 0, \qquad ([1-x^2]\,y')' + \lambda\,y = 0
  • Собственные числа
\lambda_n = n(n+1)
  • Рекуррентная формула
(n+1)\,P_{n+1}(x) = (2n+1)x\,P_n(x) - n\,P_{n-1}(x)\,
  • Нормировка
P_n(1)=1, \qquad h_n=\frac{2}{2n+1}, \qquad k_n=\frac{(2n)!}{2^n\,(n!)^2}, \qquad e_n=(-2)^n\,n!
  • Первые несколько многочленов
P_0(x)=1;\,
P_1(x)=x;\,
P_2(x)=(3x^2-1) / 2;
P_3(x)=(5x^3-3x) / 2;
P_4(x)=(35x^4-30x^2+3) / 8;

Многочлены Чебышёва[править | править вики-текст]

Многочлен Чебышёва T_n(x) часто используется для аппроксимации функций как многочлен степени n, который меньше всего отклоняется от нуля на интервале [-1,1]

T_n(x) = \cos(n\,arccos(x)).\,

Является частным случаем нормированного многочлена Гегенбауэра для параметра \alpha \to 0

T_n(x) = \lim_{\alpha \to 0}n\,\Gamma(\alpha)\,C_n^{(\alpha)}.\,

  • Дифференциальное уравнение
(1-x^2)\,y'' - x\,y' + {\lambda}\,y = 0
  • Собственные числа
\lambda_n = n^2
  • Рекуррентная формула
T_{n+1}(x) = 2x\,T_n(x) - T_{n-1}(x)\,
  • Нормировка
T_n(1)=1, \qquad h_n=\left\{
\begin{matrix}
\pi   &:~n=0 \\
\pi/2 &:~n\ne 0
\end{matrix}\right. ,\qquad k_n = 2^{n-1}, \qquad e_n=(-2)^n\,\frac{\Gamma(n+1/2)}{\sqrt{\pi}}

Многочлен Чебышёва второго рода U_n(x) характеризуются как многочлен, интеграл от абсолютной величины которого на интервале [-1, +1] меньше всего отклоняется от нуля

U_n = \frac{1}{n+1}\,T_{n+1}'\,

  • Весовая функция W(x)=(1-x^2)^{1/2} на промежутке ортогональности [-1,1]
  • Дифференциальное уравнение
(1-x^2)\,y'' - 3x\,y' + {\lambda}\,y = 0
  • Нормировка
U_n(1)=n+1, \qquad h_n=\pi / 2, \qquad k_n = 2^n, \qquad e_n=2(-2)^n\,\frac{\Gamma(n+3/2)}{(n+1)\,\sqrt{\pi}}

Многочлены Лагерра[править | править вики-текст]

Ассоциированные или обобщённые многочлены Лягерра обозначаются L_n^{(\alpha)}(x), где параметр \alpha вещественное число больше -1. Для \alpha = 0 обобщённые многочлены сводятся к обычным многочленам Лягерра

L_n(x) = L_n^{(0)}(x).\,

  • Весовая функция W(x)=x^{\alpha}e^{-x} на промежутке ортогональности [0,\infty)
  • Дифференциальные уравнения
x\,y'' + (\alpha + 1-x)\,y' + {\lambda}\,y = 0\, \qquad (x^{\alpha+1}\,e^{-x}\, y')' + {\lambda}\,x^{\alpha}\,e^{-x}\,y = 0\,
  • Собственные числа
\lambda_n = n
  • Рекуррентная формула
(n+1)\,L_{n+1}^{(\alpha)}(x) = (2n+1+\alpha-x)\,L_n^{(\alpha)}(x) - (n+\alpha)\,L_{n-1}^{(\alpha)}(x)\,
  • Нормировка
k_n=\frac{(-1)^n}{n!}, \qquad h_n=\frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!}, \qquad e_n=n!
  • Прочие свойства
L_n^{(\alpha+1)}(x) = - \frac{d}{dx}L_{n+1}^{(\alpha)}(x)

Многочлены Эрмита[править | править вики-текст]

  • Весовая функция W(x)=e^{-x^2} на промежутке ортогональности [-\infty,\infty]
  • Дифференциальные уравнения
y'' - 2xy' + {\lambda}\,y = 0\, \qquad (e^{-x^2}\,y')' + e^{-x^2}\,\lambda\,y = 0\,
  • Собственные числа
\lambda_n = 2n
  • Рекуррентная формула
H_{n+1}(x) = 2x\,H_n(x) - 2n\,H_{n-1}(x)\,
  • Нормировка
k_n = 2^n, \qquad h_n=2^n\,n!\,\sqrt{\pi}, \qquad e_n=(-1)^n
  • Первые несколько многочленов
H_0(x) = 1\,
H_1(x) = 2x\,
H_2(x) = 4x^2-2\,
H_3(x) = 8x^3-12x\,
H_4(x) = 16x^4-48x^2+12\,

Построение ортогональных многочленов[править | править вики-текст]

Процесс ортогонализации Грама-Шмидта[править | править вики-текст]

Система ортогональных многочленов f_1, f_2, \ldots, f_k может быть построена путём применения процесса Грама-Шмидта к системе многочленов g_k(x)=x^k следующим образом. Определим проектор как

\mathrm{proj}_{f}\,(g) = {\langle f, g\rangle\over\langle f, f\rangle}f = { \int_{x_1}^{x_2} f(x) g(x) W(x) \; dx \over  \int_{x_1}^{x_2} (f(x))^2 W(x) \; dx} f(x),

тогда ортогональные полиномы последовательно вычисляются по схеме


\begin{align}
f_1 & = g_1, \\
f_2 & = g_2-\mathrm{proj}_{f_1}\,(g_2), \\
f_3 & = g_3-\mathrm{proj}_{f_1}\,(g_3)-\mathrm{proj}_{f_2}\,(g_3), \\
& {}\  \  \vdots \\
f_k & = g_k-\sum_{j=1}^{k-1}\mathrm{proj}_{f_j}\,(g_k).
\end{align}

Данный алгоритм относится к численно неустойчивым алгоритмам. При вычислении коэффициентов разложения ошибки округления и погрешности численного интегрирования накапливаются с увеличением номера полинома.

По моментам весовой функции[править | править вики-текст]

Весовая функция ~w(x), заданная на промежутке ~\left[a;b\right], однозначно определяет систему ортогональных многочленов \{p_n(x)\}_{n=0}^{\infty} с точностью до постоянного множителя. Обозначим через числа

\mu_n=\int_a^b{w(x)x^ndx}

моменты весовой функции, тогда многочлен p_n(x) может быть представлен в виде:

 p_n(x) = \det\left[ 
\begin{matrix}
\mu_0 & \mu_1 & \mu_2 & \cdots & \mu_n \\
\mu_1 & \mu_2 & \mu_3 & \cdots & \mu_{n+1} \\
\mu_2 & \mu_3 & \mu_4 & \cdots & \mu_{n+2} \\
\vdots & \vdots & \vdots &      & \vdots \\
\mu_{n-1} & \mu_n & \mu_{n+1} & \cdots & \mu_{2n-1} \\
1 & x & x^2 & \cdots & x^n
\end{matrix}
\right] .

Сложность вычисления ортогональных полиномов определяется сложностью вычисления определителя матрицы. Существующие алгоритмические реализации вычисления требуют минимум O(n^3) операций.

По рекуррентным формулам[править | править вики-текст]

Если выбрать нормировку многочлена p_n(x) таким образом, что коэффициент k_n при главном члене равен единице, рекуррентное соотношение может быть переписано в следующем виде:

{p_{n+1}(x)\ =\ (x-\alpha_n)\ p_n(x)\ -\ \gamma_n\ p_{n-1}(x)},

где

\alpha_n = \frac{\langle x p_n, p_n\rangle}{\langle p_n, p_n\rangle}, \qquad \gamma_n = \frac{\langle p_n, p_n\rangle}{\langle p_{n-1}, p_{n-1}\rangle}.

Применение ортогональных многочленов[править | править вики-текст]

Ортогональные полиномы применяются для построения точных квадратурных формул


\int\limits_{\Omega} f(x) w(x) dx \approx \sum\limits_{i=1}^{n}  w_i f(x_i),

где x_i и w_i являются узлами и весами квадратурной формулы. Квадратурная формула является точной для всех полиномов f(x) до степени 2n-1 включительно. При этом узлы x_i есть корни n-го полинома из последовательности полиномов p_0(x),p_1(x), ..., ортогональных с весовой функцией w(x). Веса w_i вычисляются из формулы Кристоффеля-Дарбу.

Так же многочлены Чебышёва первого T_n(x) и второго U_n(x) типа часто используется для аппроксимации функций.

Примечания[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

  • Gabor Szego Orthogonal Polynomials. — Colloquium Publications - American Mathematical Society, 1939. — ISBN 0-8218-1023-5.
  • Dunham Jackson Fourier Series and Orthogonal Polynomials. — New York: Dover, 1941, 2004. — ISBN 0-486-43808-2.
  • Refaat El Attar Special Functions and Orthogonal Polynomials. — Lulu Press, Morrisville NC 27560, 2006. — ISBN 1-4116-6690-9.
  • Theodore Seio Chihara An Introduction to Orthogonal Polynomials. — Gordon and Breach, New York, 1978. — ISBN 0-677-04150-0.

Для дальнейшего чтения[править | править вики-текст]