Экспонента

Запрос «EXP» перенаправляется сюда; о классе сложности см. Класс EXPTIME.

График экспоненты $y=e^{x}$ (синим).
Касательная (красным) в нуле у функции $e^{x}$ наклонена на ${\frac {\pi }{4}}~(45^{\circ })$.
Рядом для примера показаны $y=2^{x}$ (точками) и $y=4^{x}$ (пунктиром)

Экспоне́нта — показательная функция $f(x)=\exp(x)=e^{x}$, где $e$ — число Эйлера $(e\approx 2,718)$.

Определение

Экспоненциальная функция может быть определена различными эквивалентными способами. Например, через ряд Тейлора:

$e^{x}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots$

или через предел:

$e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}$

Здесь $x$ — любое комплексное число.

Свойства

• $(e^{x})'=e^{x}$, а в частности, экспонента — единственное решение дифференциального уравнения $y'=y$ с начальными данными $y(0)=1$. Кроме того, через экспоненту выражаются общие решения однородных дифференциальных уравнений.
• Экспонента определена на всей вещественной оси. Она всюду возрастает и строго больше нуля.
• Экспонента — выпуклая функция.
• Обратная функция к ней — натуральный логарифм $(\ln x)$.
• Фурье-образ экспоненты не существует.
• Однако преобразование Лапласа существует.
• Производная в нуле равна $1$, поэтому касательная к экспоненте в этой точке проходит под углом $45^{\circ }~{\Big (}{\frac {\pi }{4}}{\Big )}$.
• Основное функциональное свойство экспоненты, как и всякой показательной функции:

  $\exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)$.

  • Непрерывная функция с таким свойством либо тождественно равна $0$, либо имеет вид $\exp(cx)$, где $c$ — некоторая константа.

• $e^{x}=\operatorname {sh} x+\operatorname {ch} x$, где $\operatorname {sh}$ и $\operatorname {ch}$ — гиперболические синус и косинус.

Комплексная экспонента

График экспоненты в комплексной плоскости.
Легенда

Комплексная экспонента — математическая функция, задаваемая соотношением $f(z)=e^{z}$, где $z$ есть комплексное число. Комплексная экспонента определяется как аналитическое продолжение экспоненты $f(x)=e^{x}$ вещественного переменного $x$:

Определим формальное выражение

$e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}\cdot e^{iy}$.

Определенное таким образом выражение на вещественной оси будет совпадать с классической вещественной экспонентой. Для полной корректности построения необходимо доказать аналитичность функции $e^{z}$, то есть показать, что $e^{z}$ разлагается в некоторый сходящийся к данной функции ряд. Покажем это:

$f(z)=e^{z}=e^{x}\cdot e^{iy}=e^{iy}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$

Сходимость данного ряда легко доказывается:

$\left|e^{iy}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right|\leq \left|\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right|\leq \sum _{n=0}^{\infty }\left|{\frac {x^{n}}{n!}}\right|=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {|x|^{n}}{n!}}=e^{|x|}$.

Ряд всюду сходится абсолютно, то есть вообще всюду сходится, таким образом, сумма этого ряда в каждой конкретной точке будет определять значение аналитической функции $f(z)=e^{z}$. Согласно теореме единственности, полученное продолжение будет единственно, следовательно, на комплексной плоскости функция $e^{z}$ всюду определена и аналитична.

Свойства

• Комплексная экспонента — целая голоморфная функция на всей комплексной плоскости. Ни в одной точке она не обращается в ноль.
• $e^{z}$ — периодическая функция с основным периодом 2πi: $e^{i\varphi }=e^{i(\varphi +2\pi )}$. В силу периодичности комплексная экспонента бесконечнолистна. В качестве её области однолистности можно выбрать любую горизонтальную полосу высотой $2\pi$.
• $e^{z}$ — единственная с точностью до постоянного множителя функция, производная (а также соответственно и первообразная) которой совпадает с исходной функцией.
• Алгебраически экспонента от комплексного аргумента $z=x+iy$ может быть определена следующим образом:

  $e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}=e^{x}(\cos \,y+i\sin \,y)$ (формула Эйлера)

  • В частности, имеет место (тождество Эйлера),

    $e^{i\pi }+1=0$

Вариации и обобщения

Аналогично экспонента определяется для элемента произвольной ассоциативной алгебры. В конкретном случае требуется также доказательство того, что указанные пределы существуют.

Матричная экспонента

Основная статья: Матричная экспонента

Экспоненту от квадратной матрицы (или линейного оператора) можно формально определить, подставив матрицу в соответствующий ряд:

$\exp A=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {A^{k}}{k!}}.$

Определённый таким образом ряд сходится для любого оператора $A$ с ограниченной нормой, поскольку мажорируется рядом для экспоненты нормы $A:$ $\exp \|A\|.$ Следовательно, экспонента от матрицы $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ всегда определена и сама является матрицей.

С помощью матричной экспоненты легко задать вид решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: уравнение ${\dot {x}}=Ax,~~~x\in \mathbb {R} ^{n}$ с начальным условием $x(0)=x_{0}$ имеет своим решением $x(t)=\exp(At)x_{0}.$

h-экспонента

Введение $h$-экспоненты основано на втором замечательном пределе:

$e_{h}(x)=(1+h)^{\frac {x}{h}}.$

При $h\to 0$ получается обычная экспонента.

Обратная функция

Обратная функция к экспоненциальной функции — натуральный логарифм. Обозначается $\ln x$:

$\ln x=\log _{e}x.$

См. также

• Показательная функция
• Список интегралов от экспоненциальных функций

Литература

• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — Издание 5-е, исправленное. — М.: Наука, 1987. — 688 с.
• Хапланов М. Г. Теория функции комплексного переменного (краткий курс). — Издание 2-е, исправленное. — М.: Просвещение, 1965. — 209 с.

Ссылки

• «Экспонента и число е: просто и понятно» — перевод статьи An Intuitive Guide To Exponential Functions & e | BetterExplained (англ.)