Абелев дифференциал

А́белев дифференциа́л — голоморфный или мероморфный дифференциал на компактной, или замкнутой, римановой поверхности $S$.

Пусть $g$ — род поверхности $S;a_{1}b_{1}a_{2}b_{2}\ldots a_{g}b_{g}$ — циклы канонического базиса гомологий $S$. В зависимости от характера особенностей различают Абелев дифференциал трёх родов: I, II и III, причём имеют место строгие включения: ${\mbox{I}}\subset {\mbox{II}}\subset {\mbox{III}}$.

Абелев дифференциал I рода

Абелев дифференциал I рода — это голоморфные всюду на $S$ дифференциалы 1-го порядка, которые в окрестности $U$ каждой точки $P_{0}\in S$ имеют вид $\omega =p\,dz=p(z)\,dz$, где $z=x+iy$ — локальная униформизирующая переменная в $U$, $dz=dx+i\,dy$, а $p(z)$ — голоморфная, или регулярная, аналитическая функция от $z$ в $U$. Сложение абелева дифференциала и умножение на голоморфную функцию определяется естественными правилами: если

$\omega =p\,dz,\ \pi =q\,dz,\ a=a(z),$

то

$\omega +\pi =(p+q)\,dz,\ a\omega =(ap)\,dz.$

Абелев дифференциал I рода образуют векторное пространство ${\mathfrak {A}}$ размерности $g$. После введения скалярного произведения

$(\omega ,\pi )=\iint _{S}\omega *{\overline {\pi }},$,

где $\omega *{\overline {\pi }}$ — внешнее произведение $\omega$ на звёздно-сопряжённый дифференциал ${\overline {\pi }}$, пространство ${\mathfrak {A}}$ превращается в гильбертово пространство.

Пусть $A_{1}',B_{1}',A_{2}',B_{2}',\ldots ,A_{g}',B_{g}'$ суть $A$- и $B$-периоды абелева дифференциала I рода $\omega$, то есть интегралы

$A_{j}=\int _{a_{j}}\omega ,\ B_{j}=\int _{b_{j}}\omega ,\ j=1,2,\ldots ,g.$

Тогда имеет место соотношение

$\|\omega \|^{2}=i\sum _{j=1}^{g}{\big (}A_{j}{\overline {B}}_{j}-B_{j}{\overline {A}}_{j}{\big )}\geqslant 0.$

(1)

Если $A_{1}',B_{1}',A_{2}',B_{2}',\ldots ,A_{g}',B_{g}'$ — периоды другого абелева дифференциала Iрода $\pi$, то

$i(\omega ,{\overline {\pi }})=\sum _{j=1}^{g}(A_{j}B_{j}'-B_{j}A_{j}')=0.$

(2)

Соотношения (1) и (2) называются билинейными соотношениями Римана для абелевых дифференциалов I рода. Канонический базис абелева дифференциала I рода, то есть канонический базис $\phi _{1},\phi _{2},\ldots \phi _{g}$ пространства ${\mathfrak {A}}$, выбирается таким образом, что

$A_{ij}=\int _{a_{i}}\varphi _{i}=\delta _{ij},$

где $\delta _{ii}=1$ и $\delta _{ij}=0$ при $j\neq i$. При этом матрица $B$-периодов

$B_{ij}=\int _{b_{j}}\varphi _{ij},\ i,j=1,2\ldots ,g$

симметрическая, а матрица мнимых частей $(\operatorname {Im} B_{ij})$ положительно определённая. Абелев дифференциал первого рода, у которого все $A$-периоды или все $B$-периоды равны нулю, тождественно равен нулю. Если все периоды абелева дифференциала I рода $\omega$ действенны, то $\omega =0$.

Литература

• Неванлинна, Р. Униформизация / пер. с нем. — М. : Иноиздат, 1955. — 435 с.
• Спрингер, Дж. Введение в теорию римановых поверхностей / пер. с англ. Л. А. Маркушевич и Г. Ц. Тумаркина. — М. : Иноиздат, 1960. — 343 с.
• Чеботарёв, Н. Г. Теория алгебраических функций. — М. ; Л. : Гостехлитиздат, 1948. — 397 с.