Производная Пеано

Производная Пеано ― одно из обобщений понятия производной.

Пусть имеет место равенство

$f(x)=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+\cdots +{\frac {a_{r}}{r!}}(x-x_{0})^{r}+\gamma (x)(x-x_{0})^{r}$

где $a_{0},a_{1},\dots ,a_{r}$ ― постоянные и $\gamma (x)\to 0$ при $x\to x_{0}$ и $\gamma (x_{0})=0$. Тогда число $a_{r}$ называется обобщенной производной Пеано порядка $r$ функции $f$ в точке $x_{0}$.

Обозначение: $f_{(r)}(x_{0})=a_{r}$, в частности $f_{(0)}(x_{0})=f(x_{0})$, $f_{(1)}(x_{0})=f'(x_{0})$.

Свойства

• Если существует $f^{(r)}(x_{0})$, то существует и $f_{(k)}(x_{0})$ для $k\leq r$.

• Если существует конечная обычная двусторонняя производная $f^{(r)}(x_{0})$, то $f_{(r)}(x_{0})=f^{(r)}(x_{0})$. Обратное неверно при $r>1$: для функции $f(x)=x^{n}D(x)$, где $D$ — функция Дирихле все $f_{(r)}(0)=0$ для $r<n$ тогда как $f^{(r)}(0)$ не определена для всех $r>1$.