Ротор (дифференциальный оператор)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Ро́тор, ротация или вихрь — векторный дифференциальный оператор над векторным полем.

Обозначается разными способами:

  • (в русскоязычной[1] литературе),
  • (в англоязычной литературе, предложено Максвеллом[2]),
  • - как дифференциальный оператор набла, векторно умножаемый на векторное поле, т.е. для векторного поля F результат действия оператора ротора, записанного в таком виде, будет векторным произведением оператора набла и этого поля:

Результат действия оператора ротора на конкретное векторное поле F называется ротором поля F или просто ротором F и представляет собой новое векторное[3] поле:

Поле rot F (длина и направление вектора rot F в каждой точке пространства) характеризует в некотором смысле (см. далее) вращательную составляющую поля F в соответствующих точках.

Определение[править | править код]

Ротор векторного поля  — есть вектор, проекция которого на каждое направление n есть предел отношения циркуляции векторного поля по контуру L, являющемуся краем плоской площадки ΔS, перпендикулярной этому направлению, к величине этой площадки (площади), когда размеры площадки стремятся к нулю, а сама площадка стягивается в точку[4]:

.

Направление обхода контура выбирается так, чтобы, если смотреть в направлении , контур L обходился по часовой стрелке[5].

Операция, определенная таким образом, существует строго говоря только для векторных полей над трехмерным пространством. Об обобщениях на другие размерности - см. ниже.

Альтернативным определением может быть непосредственное вычислительное определение дифференциального оператора, сводящееся к

что может быть записано в конкретных координатах как это показано ниже.

  • Иногда можно встретиться с таким альтернативным[6] определением[7]
где O - точка, в которой определяется ротор поля a,
S - какая-то замкнутая поверхность, содержащая точку O внутри и в пределе стягивающаяся к ней,
dS - вектор элемента этой поверхности, длина которого равна площади элемента поверхности, ортогональный поверхности в данной точке,
знаком обозначено векторное произведение,
V - объем внутри поверхности S.

Это последнее определение таково, что дает сразу вектор ротора, не нуждаясь в определении проекций на три оси отдельно.

Интуитивный образ[править | править код]

Если v(x,y,z) - поле скорости движения газа (или течения жидкости), то rot v - вектор, пропорциональный вектору угловой скорости очень маленькой и легкой пылинки (или шарика), находящегося в потоке (и увлекаемого движением газа или жидкости; хотя центр шарика можно при желании закрепить, лишь бы он мог вокруг него свободно вращаться).

Конкретно rot v = 2 ω, где ω - эта угловая скорость.

  • Простую иллюстрацию этого факта - см. ниже.

Эта аналогия может быть проведена вполне строго (см. ниже). Основное определение через циркуляцию, данное выше, можно считать эквивалентным полученному таким образом.

Выражение в конкретных координатах[править | править код]

Формула ротора в декартовых координатах[править | править код]

В трёхмерной декартовой системе координат ротор (в соответствии с определением выше) вычисляется следующим образом (здесь F - обозначено векторное поле с декартовыми компонентами , а - орты декартовых координат):

или

(что можно считать альтернативным определением, по сути совпадающим с определением в начале параграфа, по крайней мере при условии дифференцируемости компонент поля).

Для удобства можно формально представлять ротор как векторное произведение оператора набла (слева) и векторного поля:

(Последнее равенство формально представляет векторное произведение как определитель).

Формула ротора в криволинейных координатах[править | править код]

Удобным общим выражением ротора, пригодным для произвольных криволинейных координат в трехмерном пространстве является выражение с использованием тензора Леви-Чивиты (используя верхние и нижние индексы и правило суммирования Эйнштейна):

где - координатная запись тензора Леви-Чивиты, включая множитель - метрический тензор в представлении с верхними индексами,

Это выражение может быть также переписано в виде:

Формула ротора в ортогональных криволинейных координатах[править | править код]

, где Hiкоэффициенты Ламе.

Обобщения[править | править код]

  • Обобщением ротора применительно к векторным (и псевдовекторным) полям на пространствах произвольной размерности (при условии совпадения размерности пространства с размерностью вектора поля) является антисимметричное тензорное поле валентности два, компоненты которого равны:
Эта же формула может быть записана через внешнее произведение с оператором набла:
  • Для двумерной плоскости может быть использована аналогичная формула с псевдоскалярным произведением (такой ротор будет псевдоскаляром, и его величина совпадает с проекцией традиционного векторного произведения на нормаль к данной плоскости, если она вложена в трёхмерное евклидово пространство).
  • Если на двумерном вещественном пространстве (с координатами и ) введена структура комплексного пространства (с координатой ) и двумерные векторные поля записываются как комплекснозначные функции , тогда с использованием дифференцирования по комплексной переменной
ротор и дивергенцию (а они останутся действительными числами) можно записать так:
,
.

Основные свойства[править | править код]

  • Операция ротора линейна над полем констант: для любых векторных полей и и для любых чисел (констант) и
  • Если  — скалярное поле (функция), а  — векторное, тогда:
.
  • Если поле потенциально, его ротор равен нулю (поле — безвихревое):
  • Обратное верно локально[8]: если поле безвихревое, то локально (в достаточно малых областях) оно потенциально (то есть найдется такое скалярное поле , что будет его градиентом):
Таким образом, различные векторные поля могут иметь одинаковый ротор. При этом различаться они будут обязательно на безвихревое поле (то есть, локально - на градиент некоторого скалярного поля).
  • Обратное свойство также выполняется локально - если поле бездивергентно, локально оно является ротором некоторого поля , называемого его векторным потенциалом:
.
  • Дивергенция векторного произведения двух векторных полей выражается через их роторы по формуле:
Таким образом, если и - безвихревые векторные поля, их векторное произведение будет бездивергентным и локально будет обладать векторным потенциалом. Например, если , а , легко найти векторный потенциал для :
.
Локально каждое бездивергентное векторное поле в трёхмерной области является векторным произведением двух градиентов.
  • Ротор ротора равен градиенту дивергенции минус лапласиан:
  • Ротор векторного произведения полей равен:

Физическая интерпретация[править | править код]

При движении сплошной среды распределение её скоростей (т.е. поле скорости течения жидкости) вблизи точки О задаётся формулой Коши-Гельмгольца:

где — вектор углового вращения элемента среды в точке О, а квадратичная форма от координат — потенциал деформации элемента среды.

Таким образом, движение сплошной среды вблизи точки О складывается из поступательного движения (вектор ), вращательного движения (вектор ) и потенциального движения — деформации (вектор ). Применяя к формуле Коши—Гельмгольца операцию ротора, получим, что в точке О справедливо равенство и, следовательно, можно заключить, что когда речь идет о векторном поле, являющемся полем скоростей некоторой среды, ротор этого векторного поля в заданной точке равен удвоенному вектору углового вращения элемента среды с центром в этой точке.

В качестве интуитивного образа, как это описано выше, здесь можно использовать представление о вращении брошенной в поток маленькой пылинки (увлекаемой потоком с собой, без его заметного возмущения) или о вращении помещённого в поток с закреплённой осью маленького (без инерции, вращаемого потоком, заметно не искажая его) колеса с прямыми (не винтовыми) лопастями. Если то или другое при взгляде на него вращается против часовой стрелки, то это означает, что вектор ротора поля скорости потока в данной точке имеет положительную проекцию в направлении на нас.

Теорема Стокса[править | править код]

Циркуляция вектора по замкнутому контуру, являющемуся границей некоторой поверхности, равна потоку ротора этого вектора через эту поверхность:

Частный случай теоремы Стокса для плоской поверхности - содержание теоремы Грина.

Примеры[править | править код]

  • В этой главе будем для единичных векторов по осям (прямоугольных) декартовых координат использовать обозначение

Простой пример[править | править код]

Uniform curl.svg

Рассмотрим векторное поле F, зависящее от координат x и y так:

.
  • В отношении этого примера нетрудно заметить, что , где r - радиус-вектор, а , то есть поле F можно рассматривать как поле скоростей точек твёрдого тела, вращающегося с единичной по величине угловой скоростью, направленной в отрицательном направлении оси z (то есть по часовой стрелке, если смотреть "сверху" - против оси z). Интуитивно более или менее очевидно, что поле закручено по часовой стрелке. Если мы поместим колесо с лопастями в жидкость, текущую с такими скоростями (то есть вращающуюся как целое по часовой стрелке), в любое место, мы увидим, что оно начнет вращаться по направлению часовой стрелки. (Для определения направлений используем, как обычно, правило правой руки или правого винта).
  • z-компоненту поля F будем считать равной нулю. Однако если она ненулевая, но постоянная (или даже зависящая только от z) - результат для ротора, получаемый ниже, будет тем же.

Вычислим ротор:

Как и предположили, направление совпало с отрицательным направлением оси z. В данном случае ротор оказался константой, то есть поле оказалось однородным, не зависящим от координат (что естественно для вращения твёрдого тела). Что замечательно,

  • угловая скорость вращения жидкости, вычисленная из ротора и оказавшаяся равной точно , точно совпала с тем, что указано в параграфе Физическая интерпретация, то есть этот пример является хорошей иллюстрацией приведённого там факта. (Конечно же, вычисления, полностью повторяющие приведённые выше, но только для неединичной угловой скорости, дают тот же результат ).

Угловая скорость вращения в данном примере одна и та же в любой точке пространства (угол поворота пылинки, приклеенной к твердому телу не зависит от того места, где именно приклеить пылинку). График ротора F поэтому не слишком интересен:

Curl of uniform curl.png

Более сложный пример[править | править код]

Теперь рассмотрим несколько более сложное векторное поле[9]:

.

Его график:

Nonuniformcurl.JPG

Мы можем не увидеть никакого вращения, но, посмотрев повнимательнее направо, мы видим большее поле в, например, точке x=4, чем в точке x=3. Если бы мы установили маленькое колесо с лопастями там, больший поток на правой стороне заставил бы колесо вращаться по часовой стрелке, что соответствует ввинчиванию в направлении -z. Если бы мы расположили колесо в левой части поля, больший поток на его левой стороне заставил бы колесо вращаться против часовой стрелки, что соответствует ввинчиванию в направлении +z. Проверим нашу догадку с помощью вычисления:

Действительно, ввинчивание происходит в направлении +z для отрицательных x и -z для положительных x, как и ожидалось. Так как этот ротор не одинаков в каждой точке, его график выглядит немного интереснее:

Ротор F с плоскостью x=0, выделенной тёмно-синим цветом

Можно заметить, что график этого ротора не зависит от y или z (как и должно быть) и направлен по -z для положительных x и в направлении +z для отрицательных x.

Поясняющие примеры[править | править код]

  • В смерче ветры вращаются вокруг центра, и векторное поле скоростей ветра имеет ненулевой ротор (где-то) в центральной области. (см. Вихревое движение). (Правда, ближе к краю где-то ротор может принимать и нулевое значение см. ниже).
  • Для векторного поля v скоростей движения точек вращающегося твёрдого (абсолютно твёрдого) тела, rot v одинаков всюду по объёму этого тела и равен (вектору) удвоенной угловой скорости вращения (подробнее — см. выше). В частном случае чисто поступательного движения или покоя, этот ротор можжет быть равен нулю, как и угловая скорость, тоже для всех точек тела.
  • Если бы скорости автомобилей на трассе описывались векторным полем, и разные полосы имели разные ограничения по скорости движения, ротор на границе между полосами был бы ненулевым.
  • Закон электромагнитной индукции Фарадея, одно из уравнений Максвелла, просто записывается (в дифференциальной форме) через ротор: ротор электрического поля равен скорости изменения магнитного поля (со временем), взятой с обратным знаком.
  • Четвёртое уравнение Максвелла — закон Ампера — Максвелла — также записывается в дифференциальной форме с использованием ротора: ротор напряжённости магнитного поля равен сумме плотностей тока обычного и тока смещения[10].

Важный контринтуитивный пример[править | править код]

Надо иметь в виду, что в принципе (хотя и далеко не всегда) направление ротора векторного поля может не соответствовать направлению вращения[11], которое очевидно хотя бы по направлению искривления линий тока (будем говорить для конкретности о поле скоростей жидкости или газа и направлении вращения этой среды). Он может даже иметь противоположное направление (а в частном случае ротор может оказаться равным нулю, хотя линии тока загибаются или, в частности, даже представляют собой точные окружности).

Рассмотрим такой пример. Пусть жидкость вращается (движение для простоты двумерное, от координаты z - пусть она вертикальна - ничто не зависит) вокруг начала координат (линии тока - окружности с центром в начале координат) так, что поле скорости течения жидкости v определено на оси x формулой:

(f - положительно определенная функция, то есть вращение против часовой стрелки, если смотреть сверху, против направления оси z), тогда на оси x вертикальная компонента ротора скорости

.

Тогда если , что например очевидно реализуется, когда (дальше для простоты будем говорить только об этом случае), тогда ротор всюду (кроме, правда, начала координат) направлен вниз, что означает, что кажый малый кусочек жидкости, находящийся не в начале координат, закручивается ПО часовой стрелке (и деформируется, т.к. вращение не как у твердого тела). Иными словами, если мы поместим в жидкость пылинки, то центры этих пылинок будет перемещаться, вращаясь против часовой стрелки, притом что каждая пылинка сама будет вращаться пр часовой стрелке (за исключением одной пылинки в начале координат, которая будет всё-таки вращаться против часовой стрелки, притом еще и бесконечно быстро, раз f(0) не может в нашем случае оказаться нулем).

По сути, сказанное (применительно к жидкости или газу) означает, что среда может вращаться в целом в одну стороны, а каждый ее маленький объем - в противоположную сторону или не вращаться вообще (хотя и не обязательно).

Применительно к абстрактной геометрии это означает, что направление искривления векторных линий векторного поля вообще говоря никак прямо не связано с направлением вектора ротора этого поля, т.е. они никак, вообще говоря, не обусловливают друг друга. В частности, векторные линии могут быть прямыми (прямое течение), а ротор ненулевым, или наоборот векторные линии, например, окружностями, а ротор при этом нулевым или направленным в любую сторону (в том числе противоположно "ожидаемому" или ортогонально).

Единственное ограничение на эту независимость налагается теоремой Стокса, и оно не имеет локального характера, то есть никак не ограничивает возможную величину и направление ротора в какой-то отдельной конкретной точке, а носит, как и сама теорема, интегральный характер. Конкретнее, если циркуляция поля по какому-то контуру имеет определенный знак, то где-то внутри этого контура ротор поля обязательно будет иметь проекцию такого же знака на поверхность, натянутую на контур. Например, если жидкость просто вращается (линии тока тогда замкнуты и имеют форму окружностей, а циркуляция поля скорости по каждой такой линии имеет знак, соответствующий направлению вращения), то хотя бы где-то (не обязательно везде!) внутри такой окружности на плоскости, в которой окружность лежит, ротор скорости жидкости должен иметь проекцию на эту плоскость того же знака, что и циркуляция, то есть хотя бы где-то внутри вращающейся жидкости направления ротор скорости должно совпадать с направлением вращения жидкости. В абстрактном поле это может быть всего в одной точке (тогда это особая точка, где поле стремится к бесконечности), но если речь идет о реальных физических полях, всегда имеющих конечные величины, то и область, о которой идет речь, будет иметь конечный размер (хотя он может оказаться и очень маленьким).

С другой стороны, из теоремы Стокса следует и то, что если вращение имеет локальный характер[12], то будет иметься другая область вне области вращения, упомянутого первым, в которой ротор будет иметь противоположный знак.

Примечания[править | править код]

  1. Также в немецкой, откуда, по-видимому, это обозначение и попало в русскую, и почти везде в Европе, кроме Англии, где такое обозначение считается «альтернативным» (возможно, из-за неблагозвучности: англ. rot — гниль, гниение)[источник не указан 1399 дней].
  2. О. Хэвисайд. The relations between magnetic force and electric current. // The Electrician, 1882.
  3. Точнее — если F — псевдовекторное поле, то rot F — обычное векторное поле (вектор rot F — полярный), и наоборот, если поле F — поле обычного (полярного) вектора, то rot F — псевдовекторное поле.
  4. Стягивание в точку - обязательное условие, просто стремления ΔS к нулю недостаточно, ведь мы хотим получить характеристику поля в одной конкретной точке.
  5. Обычное соглашение, согласованное с определением через векторное произведение с оператором набла.
  6. Эквивалентность этих определений, если предел существует и не зависит от способа стягивания точке, видна, если выбрать поверхность S второго определения в виде цилиндрической поверхности с основаниями, полученными параллельным переносом площадки первого определения ΔS на очень маленькое расстояние в двух противоположных направлениях ортогонально к ΔS. В пределе же они должны приближаться к ΔS быстрее, чем уменьшается размер самой ΔS. Тогда выражение второго определения разбивается на два слагаемых, одно, содержащее интеграл по боковой поверхности, совпадает с первым определением, а второе дает ноль в проекции на нормаль к основаниям, поскольку на основаниях само ортогонально ему. Можно вместо этого рассмотреть просто маленький параллелепипед в качестве поверхности, тогда не столь легко сразу строго, но в целом понятно аналогичное.
  7. Формально сходным с определением дивергенции через поток через поверхность:
  8. Оговорка о локальности важна для общего случая, когда рассматриваемые здесь поля и могут быть определены на пространстве (многообразии) или области нетривиальной топологии, и когда условия также выполняется вообще говоря на пространстве или области нетривиальной топологии. Для случая евклидова пространства или его односвязной области оговорка о локальности не нужна, поле, ротор которого нуль на всем таком пространстве или односвязной области, будет потенциальным на всем этом пространстве или этой области. То есть тогда найдется такое скалярное поле , что будет верно везде на этом пространстве или этой области.
  9. Простейшая физическая реализация такого поля (с точностью до аддитивной константы, которая не влияет на вычисление ротора, поскольку rot const = 0; кроме того, при желании эта константа может быть обнулена переходом в систему отсчета, связанной с максимально быстро текущей водой в центре струи) - ламинарное течение (вязкой) жидкости между двумя параллельными твердыми плоскостями, перпендикулярными оси х, под действием однородного силового поля (тяжести) или разности давлений. Течение жидкости в трубе круглого сечения даёт такую же зависимости , поэтому приведённое дальше вычисление ротора применимо и к этому случаю (проще всего взять ось y совпадающей с осью трубы, и хотя зависимость не будет уже константой, однако будет нулем при z = 0, как и в основном примере, т.е. вычисление и ответ для любой плоскости, проходящей через ось трубы такой же, а это решает задачу).
  10. Математический словарь высшей школы. В. Т. Воднев, А. Ф. Наумович, Н. Ф. Наумович
  11. Имеется в виду, например, вращение жидкости, если речь о поле скорости течения жидкости (или газа), или, если речь идет о другом (например, чисто абстрактном) поле, то речь идет о формальной аналогии с вращением жидкости (газа).
  12. То есть если вне некоторой конечной области движения нет, или если оно достаточно быстро затухает при удалении от этой области, так что в пределе бесконечно большого контура циркуляция стремится к нулю

См. также[править | править код]