Закон Ампера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
 Просмотр этого шаблона  Классическая электродинамика
VFPt Solenoid correct2.svg
Электричество · Магнетизм
См. также: Портал:Физика

Зако́н Ампе́ра  — закон взаимодействия электрических токов. Впервые был установлен Андре Мари Ампером в 1820 для постоянного тока. Из закона Ампера следует, что параллельные проводники с электрическими токами, текущими в одном направлении, притягиваются, а в противоположных — отталкиваются. Законом Ампера называется также закон, определяющий силу, с которой магнитное поле действует на малый отрезок проводника с током. Выражение для силы d\vec F, с которой магнитное поле действует на элемент объёма dV проводника с током плотности \vec j, находящегося в магнитном поле с индукцией \vec B, в Международной системе единиц (СИ) имеет вид:

d\vec F = \vec j \times \vec B dV.

Если ток течёт по тонкому проводнику, то \vec j dV = I d\vec l, где d\vec l — «элемент длины» проводника — вектор, по модулю равный dl и совпадающий по направлению с током. Тогда предыдущее равенство можно переписать следующим образом:

Сила d\vec F, с которой магнитное поле действует на элемент d\vec l проводника с током, находящегося в магнитном поле, прямо пропорциональна силе тока I в проводнике и векторному произведению элемента длины d\vec l проводника на магнитную индукцию \vec B:

d\vec F = I d\vec l \times  \vec B.


Направление силы d\vec F определяется по правилу вычисления векторного произведения, которое удобно запомнить при помощи правила левой руки.

Модуль силы Ампера можно найти по формуле:

dF = I B dl \sin\alpha.

где \alpha — угол между векторами магнитной индукции и тока.

Сила dF максимальна когда элемент проводника с током расположен перпендикулярно линиям магнитной индукции (\alpha = 90^\circ, \sin\alpha = 1):

dF_{max} = IBdl.

Два параллельных проводника[править | править вики-текст]

Два бесконечных параллельных проводника в вакууме

Наиболее известным примером, иллюстрирующим силу Ампера, является следующая задача. В вакууме на расстоянии r друг от друга расположены два бесконечных параллельных проводника, в которых в одном направлении текут токи I_1 и I_2. Требуется найти силу, действующую на единицу длины проводника.

В соответствии с законом Био — Савара — Лапласа бесконечный проводник с током I_1 в точке на расстоянии r создаёт магнитное поле с индукцией

B_1(r) = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{2I_1}{r},

где \mu_0  — магнитная постоянная.

Теперь по закону Ампера найдём силу, с которой первый проводник действует на второй:

d\vec F_{1-2} = I_2 d\vec l \times \vec B_1(r).

По правилу буравчика, d\vec F_{1-2} направлена в сторону первого проводника (аналогично и для d\vec F_{2-1}, а значит, проводники притягиваются).

Модуль данной силы (r — расстояние между проводниками):

dF_{1-2} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{2 I_1 I_2}{r} dl.

Интегрируем, учитывая только проводник единичной длины (пределы l от 0 до 1):

F_{1-2} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{2 I_1 I_2}{r}.

Полученная формула используется в СИ для установления численного значения магнитной постоянной \mu_0 . Действительно, ампер, являющийся одной из основных единиц СИ, определяется в ней как «сила неизменяющегося тока, который при прохождении по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малой площади кругового поперечного сечения, расположенным в вакууме на расстоянии1 метр один от другого, вызвал бы на каждом участке проводника длиной 1 метр силу взаимодействия, равную 2·10−7 ньютона»[1].

Таким образом, из полученной формулы и определения ампера следует, что магнитная постоянная \mu_0 равна 4 \pi \times 10^{-7} Н/А² или, что то же самое, 4 \pi \times 10^{-7} Гн/ м точно.

Проявления[править | править вики-текст]

  • Электродинамическая деформация шин (токопроводов) трёхфазного переменного тока на подстанциях при воздействии токов короткого замыкания.
  • Раздвигание токопроводов рельсотронов при выстреле.

Применение[править | править вики-текст]

  • Любые узлы в электротехнике, где под действием электромагнитного поля происходит движение каких-либо элементов, используют закон Ампера. Самый широко распространённый и используемый чуть ли не во всех технических конструкциях агрегат, в основе своей работы использующий закон Ампера - это электродвигатель, либо, что конструктивно почти то же самое, генератор.

Именно под действием силы Ампера происходит вращение ротора, поскольку на его обмотку влияет магнитное поле статора, приводя в движение. Любые транспортные средства на электротяге для приведения во вращение валов, на которых находятся колёса, используют силу Ампера (трамваи, электрокары, электропоезда и др). Также магнитное поле приводит в движение механизмы электрозапоров (электродвери, раздвигающиеся ворота, двери лифта). Другими словами, любые устройства, которые работают на электричестве и имеющие вращающиеся узлы основаны на эксплуатации закона Ампера.

  • Также он находит применение во многих других видах электротехники, например, в громкоговорителе. В громкоговорителе или динамике для возбуждения мембраны, которая формирует звуковые колебания используется постоянный магнит. На него под действием электромагнитного поля, создаваемого расположенным рядом проводником с током, действует сила Ампера, которая изменяется в соответствии с нужной звуковой частотой.
  • Принцип работы электромеханических машин (движение части обмотки ротора относительно части обмотки статора).
  • Электродинамическое сжатие плазмы, например, в токамаках, установках Z-пинч.
  • Электродинамический метод прессования.

История[править | править вики-текст]

В 1820 году Ханс Кристиан Эрстед открыл, что провод, по которому идёт ток, создает магнитное поле и заставляет отклоняться стрелку компаса. Он заметил, что магнитное поле перпендикулярно току, а не параллельно ему, как можно было бы ожидать. Ампер, вдохновлённый демонстрацией опыта Эрстеда, обнаружил, что два параллельных проводника, по которым течёт ток, притягиваются или отталкиваются в зависимости от того, в одну ли или разные стороны по ним идёт ток. Таким образом ток не только производит магнитное поле, но магнитное поле действует на ток. Уже через неделю после объявления Эрстедом о своём опыте, Ампер предложил объяснение: проводник действует на магнит, потому что в магните течёт ток по множеству маленьких замкнутых траекторий[2][3].

Сила Ампера и третий закон Ньютона[править | править вики-текст]

Пусть есть два тонких проводника с токами I_1 и I_2 , заданные кривыми C_1 и C_2. Сами кривые могут быть заданы радиус-векторами \mathbf{r}_1 и \mathbf{r}_2. Найдем силу, действующую непосредственно на токовый элемент одного провода со стороны токового элемента другого провода. По закону Био — Савара — Лапласа токовый элемент I_1\mathrm{d}\mathbf{r}_1, находящийся в точке \mathbf{r}_1, создает в точке \mathbf{r}_2 элементарное магнитное поле \mathrm{d}\mathbf B_1 (\mathbf{r}_2)
= {\mu_0 \over 4\pi}
 
\frac{I_1[\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1]}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}. По закону Ампера сила, действующая со стороны поля \mathrm{d}\mathbf B_1 (\mathbf{r}_2) на токовый элемент I_2\mathrm{d}\mathbf{r}_2, находящийся в точке \mathbf{r}_2, равна \mathrm{d}^2\mathbf{F}_{12} = I_2\mathrm{d}\mathbf{r}_2 \times\mathrm{d}\mathbf B_1 (\mathbf{r}_2) = {\mu_0I_1I_2 \over 4\pi} \frac{[\mathrm{d}\mathbf{r}_2,[\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1]]}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}.

Токовый элемент I_2\mathrm{d}\mathbf{r}_2, находящийся в точке \mathbf{r}_2, создает в точке \mathbf{r}_1 элементарное магнитное поле \mathrm{d}\mathbf B_2 (\mathbf{r}_1)
= {\mu_0 \over 4\pi}
 
\frac{I_2[\mathrm{d}\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2]}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}. Сила Ампера, действующая со стороны поля \mathrm{d}\mathbf B_2 (\mathbf{r}_1) на токовый элемент I_1\mathrm{d}\mathbf{r}_1, находящийся в точке \mathbf{r}_1, равна \mathrm{d}^2\mathbf{F}_{21} = I_1\mathrm{d}\mathbf{r}_1 \times\mathrm{d}\mathbf B_2 (\mathbf{r}_1) = {\mu_0I_1I_2 \over 4\pi} \frac{[\mathrm{d}\mathbf{r}_1,[\mathrm{d}\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2]]}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}.

В общем случае для произвольных \mathbf{r}_1 и \mathbf{r}_2 силы \mathrm{d}^2\mathbf{F}_{12} и \mathrm{d}^2\mathbf{F}_{21} даже не коллинеарны, а значит, не подчиняются третьему закону Ньютона: \mathrm{d}^2\mathbf{F}_{12}+\mathrm{d}^2\mathbf{F}_{21} \neq 0. Однако ничего страшного в этом нет. Физиками доказано, что постоянный ток может течь только по замкнутому контуру. Поэтому третий закон Ньютона должен действовать только для сил, с которыми взаимодействуют два замкнутых проводника с током. Убедимся, что для двух таких проводников третий закон Ньютона выполняется.

Пусть кривые C_1 и C_2 являются замкнутыми. Тогда ток I_1 создает в точке \mathbf{r}_2 магнитное поле \mathbf B_1 (\mathbf{r}_2)
= {\mu_0I_1 \over 4\pi}
\oint\limits_{\C_1} 
\frac{[\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1]}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}, где интегрирование по C_1 производится в направлении течения тока I_1. Сила Ампера, действующая со стороны поля \mathbf B_1 (\mathbf{r}_2) на контур C_2 с током I_2, равна \mathbf{F}_{12} = \oint\limits_{\C_2}(I_2\mathrm{d}\mathbf{r}_2 \times\mathbf B_1 (\mathbf{r}_2)) = \oint\limits_{\C_2}(I_2\mathrm{d}\mathbf{r}_2 \times{\mu_0I_1 \over 4\pi}
\oint\limits_{\C_1} 
\frac{[\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1]}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}) ={\mu_0I_1I_2 \over 4\pi}   \oint\limits_{\C_2}\oint\limits_{\C_1}\frac{[\mathrm{d}\mathbf{r}_2,[\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1]]}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}, где интегрирование по C_2 производится в направлении течения тока I_2. Что характерно, порядок интегрирования значения не имеет.

Аналогично сила Ампера, действующая со стороны поля \mathbf B_2 (\mathbf{r}_1), создаваемого током I_2, на контур C_1 с током I_1, равна \mathbf{F}_{21} = \oint\limits_{\C_1}(I_1\mathrm{d}\mathbf{r}_1 \times\mathbf B_2 (\mathbf{r}_1)) = {\mu_0I_1I_2 \over 4\pi}   \oint\limits_{\C_1}\oint\limits_{\C_2}\frac{[\mathrm{d}\mathbf{r}_1,[\mathrm{d}\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2]]}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}=\oint\limits_{\C_1}\oint\limits_{\C_2}\mathrm{d}^2\mathbf{F}_{21}.

Равенство \mathbf{F}_{12}+\mathbf{F}_{21} = 0 эквивалентно равенству \oint\limits_{\C_2}\oint\limits_{\C_1}\frac{[\mathrm{d}\mathbf{r}_2,[\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1]]}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}=\oint\limits_{\C_1}\oint\limits_{\C_2}\frac{[\mathrm{d}\mathbf{r}_1,[\mathrm{d}\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1]]}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}.

Чтобы доказать это последнее равенство, заметим, что выражение для силы Ампера очень похоже на выражение для циркуляции магнитного поля по замкнутому контуру, в котором внешнее скалярное произведение заменили векторным произведением. Тогда понятно, в каком направлении нужно двигаться.

Пользуясь тождеством Лагранжа, двойное векторное произведение в левой части доказываемого равенства можно записать так: [\mathrm{d}\mathbf{r}_2,[\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1]]=\mathrm{d}\mathbf{r}_1(\mathrm{d}\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1)-(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1)(\mathrm{d}\mathbf{r}_2,\mathrm{d}\mathbf{r}_1).

Тогда левая часть доказываемого равенства примет вид:

\oint\limits_{\C_2}\oint\limits_{\C_1}\frac{[\mathrm{d}\mathbf{r}_2,[\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1]]}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}=\oint\limits_{\C_1}\oint\limits_{\C_2}\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_1(\mathrm{d}\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1)}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}-\oint\limits_{\C_1}\oint\limits_{\C_2}\frac{(\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1)(\mathrm{d}\mathbf{r}_2,\mathrm{d}\mathbf{r}_1)}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}.

Рассмотрим отдельно интеграл \oint\limits_{\C_1}\oint\limits_{\C_2}\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_1(\mathrm{d}\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1)}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}, который можно переписать в следующем виде:

\oint\limits_{\C_1}\oint\limits_{\C_2}\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_1(\mathrm{d}\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1)}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}=\oint\limits_{\C_1}\mathrm{d}\mathbf{r}_1\oint\limits_{\C_2}\frac{(\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1,\mathrm{d}(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1))}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}.

Сделав замену переменной во внутреннем интеграле на \mathbf{r}=\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1, где вектор \mathbf{r} изменяется по замкнутому контуру C_2', обнаружим, что внутренний интеграл является циркуляцией градиентного поля по замкнутому контуру. А значит, он равен нулю:

\oint\limits_{\C_2}\frac{(\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1,\mathrm{d}(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1))}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}=\oint\limits_{\C_2'}\frac{(\mathbf{r},\mathrm{d}\mathbf{r})}{|\mathbf r|^3}=-\oint\limits_{\C_2'}(\mathrm{grad}(\frac{1}{|\mathbf{r}|}),\mathrm{d}\mathbf{r})=0

Значит, и весь двойной криволинейный интеграл равен нулю. В таком случае для силы \mathbf{F}_{12} можно записать:

\mathbf{F}_{12}={\mu_0I_1I_2 \over 4\pi}\oint\limits_{\C_1}\oint\limits_{\C_2}\frac{(\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2)(\mathrm{d}\mathbf{r}_2,\mathrm{d}\mathbf{r}_1)}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}

Выражение для силы \mathbf{F}_{21} можно получить из выражения для силы \mathbf{F}_{12}, просто исходя из соображений симметрии. Для этого произведем замену индексов: 2 меняем на 1, а 1 — на 2. В таком случае для силы \mathbf{F}_{21} можно записать:

\mathbf{F}_{21}={\mu_0I_1I_2 \over 4\pi}\oint\limits_{\C_1}\oint\limits_{\C_2}\frac{(\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1)(\mathrm{d}\mathbf{r}_2,\mathrm{d}\mathbf{r}_1)}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}

Теперь совершенно очевидно, что \mathbf{F}_{12}=-\mathbf{F}_{21}. Значит, сила Ампера удовлетворяет третьему закону Ньютона в случае замкнутых проводников.

Закон Грассмана[править | править вики-текст]

Закон взаимодействия двух элементарных электрических токов, известный как закон Ампера, на самом деле был позднее предложен Грассманом. Оригинальный же закон Ампера имел несколько иную форму: сила, действующая со стороны токового элемента I_1\mathrm{d}\mathbf{r}_1, находящегося в точке \mathbf{r}_1, на токовый элемент I_2\mathrm{d}\mathbf{r}_2, находящийся в точке \mathbf{r}_2, равна

\mathrm{d}^2\mathbf{F}_{12}={\mu_0I_1I_2 \over 4\pi}\frac{(\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2)}{|\mathbf r_1 - \mathbf{r}_2|^3}(2(\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\mathrm{d}\mathbf{r}_2)-3\frac{(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2,\mathrm{d}\mathbf{r}_1)(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2,\mathrm{d}\mathbf{r}_2)}{|\mathbf r_1 - \mathbf{r}_2|^2})

Сила, действующая со стороны токового элемента I_2\mathrm{d}\mathbf{r}_2, находящегося в точке \mathbf{r}_2, на токовый элемент I_1\mathrm{d}\mathbf{r}_1, находящийся в точке \mathbf{r}_1, равна

\mathrm{d}^2\mathbf{F}_{21}={\mu_0I_1I_2 \over 4\pi}\frac{(\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1)}{|\mathbf r_1 - \mathbf{r}_2|^3}(2(\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\mathrm{d}\mathbf{r}_2)-3\frac{(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2,\mathrm{d}\mathbf{r}_1)(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2,\mathrm{d}\mathbf{r}_2)}{|\mathbf r_1 - \mathbf{r}_2|^2})

Формула силы \mathrm{d}^2\mathbf{F}_{21} может быть получена из формулы силы \mathrm{d}^2\mathbf{F}_{12} просто из соображений симметрии, т.е. заменой индексов: 2 на 1, а 1 — на 2. При этом легко видеть, что \mathrm{d}^2\mathbf{F}_{21}+\mathrm{d}^2\mathbf{F}_{12}=0, т.е. оригинальный закон Ампера удовлетворяет третьему закону Ньютона уже на стадии дифференциальной формы. Поэтому проверка этого закона в интегральной форме не требуется.

Можно доказать, что в интегральной форме оригинального закона Ампера силы, с которыми взаимодействуют два замкнутых проводника с постоянными токами, получаются теми же самыми, что и в законе Грассмана.

Максвелл предложил наиболее общую форму закона взаимодействия двух элементарных проводников с током, в которой присутствует коэффициент k, который не может быть определен без некоторых предположений, следуемых из экспериментов, в которых активный ток образует замкнутый контур[4]:

\mathrm{d}^2\mathbf{F}_{12}=\frac{1}{2}{\mu_0I_1I_2 \over 4\pi}\left(
\begin{align}
&(3-k)\frac{(\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2)(\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\mathrm{d}\mathbf{r}_2)}{|\mathbf r_1 - \mathbf{r}_2|^3}-3(1-k)\frac{(\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2)(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2,\mathrm{d}\mathbf{r}_1)(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2,\mathrm{d}\mathbf{r}_2)}{|\mathbf r_1 - \mathbf{r}_2|^5}-\\
&-(1+k)\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_1(\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2,\mathrm{d}\mathbf{r}_2)}{|\mathbf r_1 - \mathbf{r}_2|^3}-(1+k)\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_2(\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2,\mathrm{d}\mathbf{r}_1)}{|\mathbf r_1 - \mathbf{r}_2|^3}\\
\end{align}\right)

В своей теории Ампер принял k=-1, Гаусс принял k=+1, так же, как Грассман и Клаузиус. В неэфирных электронных теориях Вебер принял k=-1, а Риман принял k=+1. Ритц оставил k неопределенным в своей теории.

Если принять k=-1, получится выражение для оригинального закона Ампера. Если же взять k=+1, получим:

\begin{align}
&\mathrm{d}^2\mathbf{F}_{12}={\mu_0I_1I_2 \over 4\pi}\left(\frac{(\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2)(\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\mathrm{d}\mathbf{r}_2)}{|\mathbf r_1 - \mathbf{r}_2|^3}-\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_1(\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2,\mathrm{d}\mathbf{r}_2)}{|\mathbf r_1 - \mathbf{r}_2|^3}-\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_2(\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2,\mathrm{d}\mathbf{r}_1)}{|\mathbf r_1 - \mathbf{r}_2|^3}\right)=\\
&={\mu_0I_1I_2 \over 4\pi}\left(\frac{[\mathrm{d}\mathbf{r}_2,[\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1]]}{|\mathbf r_1 - \mathbf{r}_2|^3}-\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_2(\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2,\mathrm{d}\mathbf{r}_1)}{|\mathbf r_1 - \mathbf{r}_2|^3}\right)\\
\end{align}

Здесь первые два слагаемых были объединены по тождеству Лагранжа, третье же слагаемое при интегрировании по замкнутым контурам C_1 и C_2 даст ноль. Действительно,

\oint\limits_{\C_2}\oint\limits_{\C_1}\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_2(\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2,\mathrm{d}\mathbf{r}_1)}{|\mathbf r_1 - \mathbf{r}_2|^3}=
\left[\begin{align}
&\mathbf{r}=\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2\\
&C_1\rightarrow C_1'\\
\end{align}
\right]=
\oint\limits_{\C_2}\mathrm{d}\mathbf{r}_2\oint\limits_{\C_1'}\frac{(\mathbf{r},\mathrm{d}\mathbf{r})}{|\mathbf r|^3}=
\oint\limits_{\C_2}\mathrm{d}\mathbf{r}_2\oint\limits_{\C_1'}(\mathrm{grad}\frac{1}{|\mathbf{r}|},\mathrm{d}\mathbf{r})=0

Таким образом получаем форму закона Ампера, данную Максвеллом:

\mathbf{F}_{12}={\mu_0I_1I_2 \over 4\pi}\oint\limits_{\C_2}\oint\limits_{\C_1}\frac{[\mathrm{d}\mathbf{r}_2,[\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1]]}{|\mathbf r_1 - \mathbf{r}_2|^3}

Нужно отметить, что хотя сила Ампера получается всегда одной и той же при различных k, момент сил, тем не менее, может отличаться. Например, при взаимодействии двух бесконечных проводов, скрещенных под прямым углом, сила взаимодействия будет равна нулю. Если рассчитать момент сил, действующий на каждый из проводов, по формуле Грассмана, ни один из них не будет равен нулю (хотя в сумме они будут равны нулю). Если же рассчитать момент сил по оригинальному закону Ампера, каждый из них будет равен нулю.

Можно заметить, что оригинальный закон Ампера можно использовать для расчета силы взаимодействия незамкнутых токов, как правило, непостоянных, поскольку третий закон Ньютона никогда не нарушается. В случае же закона Грассмана приходится вводить дополнительную физическую сущность — магнитное поле, чтобы компенсировать несоблюдение третьего закона Ньютона.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. ГОСТ 8.417-2002. Государственная система обеспечения единства измерений. Единицы величин.
  2. Etienne Klein, Marc Lachieze-Rey. The Quest for Unity: The Adventure of Physics. — New York: Oxford University Press, 1999. — С. 43-44. — ISBN 0-19-512085-X.
  3. Roger G Newton. From Clockwork to Crapshoot: A History of Physics. — The Belknap Press of Harward University Press, 2007. — С. 137. — ISBN 978-0-674-03487-7.
  4. Maxwell, James Clerk. Treatise on Electricity and Magnetism. — Oxford, 1904. — С. 173.

См. также[править | править вики-текст]