Изотоксальная фигура

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Многогранник, многоугольник или мозаика является изотоксальным или рёберно транзитивным, если его симметрии действуют транзитивно на его рёбрах. Неформально это означает, что имеется только один вид рёбер у объекта — если даны два ребра, существует параллельный перенос, вращение и/или зеркальное отражение, переводящее одно ребро в другое, не меняя область, занимаемую объектом.

Термин изотоксальный происходит от греческого τοξον, означающего дуга.

Изотоксальные многоугольники[править | править код]

Изотоксальный многоугольник всегда является равносторонним, но не все равносторонние многоугольники изотоксальны. Двойственные изотоксальным многоугольникам являются изогональными многоугольниками.

В общем случае изотоксальный 2n-угольник будет иметь Dn (*nn) диэдральную симметрию. Ромб является рёберно транзитивным многоугольником с симметрией D2 (*22).

Все правильные многоугольники (правильный треугольник, квадрат, и т. д.) изотоксальны, имея удвоенный минимальный порядок симметрии — правильный n-угольник имеет Dn (*nn) диэдральную симметрию. Правильный 2n-угольник является вершинно транзитивным многоугольником и его вершины могут быть помечены поочерёдно двумя цветами, что удаляет осевую симметрию через середину рёбер.

Примеры изотоксальных многоугольников
D2 (*22) D3 (*33) D4 (*44) D5 (*55)
Ромб Равносторонний треугольник Вогнутый шестиугольник Самопересекающийся шестиугольник Выпуклый восьмиугольник Правильный пятиугольник Самопересекающаяся (правильная) пентаграмма Самопересекающаяся декаграмма
Lozenge - black simple.svg Regular triangle.svg Medial triambic icosahedron face.png Great triambic icosahedron face.png Regular polygon truncation 4 1 dual.svg Isotoxal octagon.png Pentagon.svg Pentagram green.svg Isotoxal pentagram.png

Рёберно-транзитивные многогранники и мозаики[править | править код]

Правильные многогранники являются изоэдральными (гране транзитивными), изогональными (вершинно транзитивными) и изотоксальными (рёберно транзитивными). Квазиправильные многогранники являются изогональными и изотоксальными, но не изоэдральными. Их двойственные многогранники изоэдральны и изотоксальны, но не изогональны.

Примеры
Квазиправильный
многогранник
Квазиправильный двойственный
многогранник
Квазиправильный
звёздчатый многогранник
Квазиправильный двойственный
звёздчатый многогранник
Квазиправильная
мозаика
Квазиправильная двойственная
мозаика
Uniform polyhedron-43-t1.png
Кубооктаэдр является изогональным и изотоксальным многоранником
Rhombicdodecahedron.jpg
Ромбододекаэдр является изоэдральным и изотоксальным многоранником |Great icosidodecahedron.png
Большой икосододекаэдр[en] является изогональным и изотоксальным звёздчатым многоранником
DU54 great rhombic triacontahedron.png
Большой ромбический тридцатигранник[en]
Tiling Semiregular 3-6-3-6 Trihexagonal.svg
Тришестиугольная мозаика является изогональной и изотоксальной мозаикой
Star rhombic lattice.png
Ромбическая мозаика является изоэдральной и изотоксальной мозаикой с симметрией p6m (*632).

Не любой многогранник или 2-мерная мозаика, состоящие из правильных многоугольников, изотоксален. Например, усечённый икосаэдр (знакомый нам по футбольному мячу) имеет два типа рёбер — шестиугольник-шестиугольник и шестиугольник-пятиугольник и нет возможности симметрией перевести ребро шестиугольник-шестиугольник в шестиугольник-пятиугольник.

Изотоксальный многоугольник имеет те же самые диэдральные углы для всех рёбер.

Существует девять выпуклых рёберно транзитивных многогранников, образованных из правильных многогранников, 8, образованных из многогранников Кеплера — Пуансо, и ещё шесть являются квазиправильными звёздчатыми многогранниками (3 | p q) и их двойственными.

Существует 5 многоугольных рёберно транзитивных мозаик на евклидовой плоскости и бесконечно много на гиперболической плоскости, включая построения Визоффв из правильных гиперболических мозаик {p, q} и неправильных (p q r) групп.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

  • P. Cromwell. Polyhedra. — United Kingdom: Cambridge University Press, 1997. — С. 371. — ISBN 0-521-55432-2.
  • Grünbaum B., Shephard G.C. 6.4 Isotoxal tilings // Tilings and Patterns. — New York: W. H. Freeman & Co., 1987. — С. 309—321. — ISBN 0-7167-1193-1.
  • Coxeter H. S. M., Longuet-Higgins M. S., Miller J. C. P. Uniform polyhedra // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. — The Royal Society, 1954. — Т. 246, вып. 916. — С. 401–450. — ISSN 0080-4614. — DOI:10.1098/rsta.1954.0003.