Апейрогон

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Два апейрогона заполняют плоскость, образуя правильное замощение с вершинной конфигурацией.

Апейрогон (от др.-греч. ἄπειρος — бесконечный или безграничный и др.-греч. γωνία — угол) — обобщённый многоугольник со счётно-бесконечным числом сторон[1].

Правильный апейрогон[править | править код]

Правильный апейрогон имеет стороны равной длины, как и любой другой правильный многоугольник. Его символ Шлефли — {∞}, диаграмма Коксетера — ДынкинаCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.png.

Правильный апейрогон разбивает плоскость на две полуплоскости, образуя апейрогональный диэдр[en] {∞,2}. Внутренняя часть апейрогона может быть определена путём указания направления сторон.

Евклидовы мозаики
Правильные Однородные
∞.∞ 2 4.4.∞ 3.3.3.∞
Apeirogonal tiling.png Apeirogonal hosohedron.png Infinite prism tiling.png Infinite antiprism.png
{∞, 2}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
{2, ∞}
CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
t{2, ∞}
CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.png
sr{2, ∞}
CDel node h.pngCDel infin.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png

Правильными апейрогонами можно считать прямые, состоящие из рёбер четырёх однородных мозаик и пяти мозаик, двойственных однородным, на евклидовой плоскости.

3 направления 1 направление 2 направления
Tiling Semiregular 3-6-3-6 Trihexagonal.svg
Шеститреугольная мозаика
Tiling Regular 3-6 Triangular.svg
Треугольный паркет
Tiling Semiregular 3-3-3-4-4 Elongated Triangular.svg
Удлинённая треугольная мозаика
Tiling Regular 4-4 Square.svg
Квадратный паркет
(кадриль)
3 направления 6 направлений 1 направление 4 направления
Tiling Dual Semiregular V3-4-6-4 Deltoidal Trihexagonal.svg
Тетрамозаика
Tiling Dual Semiregular V3-12-12 Triakis Triangular.svg
Разделённая треугольная мозаика
Tiling Dual Semiregular V4-6-12 Bisected Hexagonal.svg
Разделённая шестиугольная мозаика
Tiling Dual Semiregular V3-3-3-4-4 Prismatic Pentagonal.svg
Призматическая пятиугольная мозаика
Tiling Dual Semiregular V4-8-8 Tetrakis Square.svg
Разделённая квадратная мозаика

Неправильные апейрогоны[править | править код]

Изогональный апейрогон имеет вершины одного типа и чередующиеся стороны двух типов (длин).

Квазиправильный апейрогон — изогональный апейрогон с равными длинами сторон.

Изотоксальный апейрогон является двойственным по отношению к изогональному. Он имеет один тип рёбер и два типа вершин и геометрически идентичен правильному апейрогону, что можно показать чередующейся раскраской вершин в два цвета.


Правильный Regular apeirogon.png
Квазиправильный Uniform apeirogon.png
Изогональный[en] Isogonal apeirogon linear.png
Изотоксальный[en] Isotoxal linear apeirogon.png

Апейрогоны на гиперболической плоскости[править | править код]

Апейрогон и описанный вокруг него орицикл.

Правильные апейрогоны на гиперболической плоскости имеют кривизну, так же как и многоугольники с конечным числом сторон. Вокруг апейрогона на гиперболической плоскости можно описать орицикл или эквидистанту (гиперцикл), аналогично тому, как вокруг многоугольника с конечным числом сторон может быть описана окружность.


CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png
Однородные мозаики из апейрогонов
3 4 5
H2 tiling 23i-1.png
{∞,3}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
H2 tiling 24i-1.png
{∞,4}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
H2 tiling 25i-1.png
{∞,5}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png
Однородные мозаики из апейрогонов (продолжение)
6 7 8
H2 tiling 26i-1.png
{∞,6}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
H2 tiling 27i-1.png
{∞,7}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png
H2 tiling 28i-1.png
{∞,8}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png
H2 tiling 2ii-1.png
{∞,∞}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
Правильные и однородные мозаики из апейрогонов
{∞, 3} tr{∞, 3} tr{12i, 3}
Hyperbolic apeirogon example.png
Правильный: {∞}
H2 tiling 23i-7.png
Квазиправильный: t{∞}
H2 tiling 23j12-7.png
Квазиправильный: t{12i}

Примечания[править | править код]

  1. Coxeter, Regular polytopes, p.45

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]