Непрерывное отображение: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Tosha (обсуждение | вклад) |
Дима74 (обсуждение | вклад) Ёфикация |
||
Строка 48: | Строка 48: | ||
=== Непрерывность в метрических и нормированных пространствах === |
=== Непрерывность в метрических и нормированных пространствах === |
||
В [[метрическое пространство|метрических пространствах]] топология |
В [[метрическое пространство|метрических пространствах]] топология задаётся семейством открытых шаров разных «радиусов», определяемых метрикой, поэтому общее определение формулируется в терминах этой метрики ("''эпсилон-дельта''" - определение): |
||
Отображение <math>f\colon X \to Y</math> метрического пространства <math>(X,\rho_X)</math> в метрическое пространство <math>(Y,\rho_Y)</math> называется непрерывным в точке <math>a</math>, если для всякого <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>\delta > 0</math>, что для всякого <math>x\in X</math>, такого, что <math>\rho_X(x,a) < \delta</math>, выполняется неравенство: <math>\rho_Y(f(x), f(a))<\varepsilon</math>. |
Отображение <math>f\colon X \to Y</math> метрического пространства <math>(X,\rho_X)</math> в метрическое пространство <math>(Y,\rho_Y)</math> называется непрерывным в точке <math>a</math>, если для всякого <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>\delta > 0</math>, что для всякого <math>x\in X</math>, такого, что <math>\rho_X(x,a) < \delta</math>, выполняется неравенство: <math>\rho_Y(f(x), f(a))<\varepsilon</math>. |
||
Для [[нормированное векторное пространство|линейных нормированных пространств]] (включая, [[гильбертово пространство|гильбертовы]] и конечномерное [[евклидово пространство|евклидовы]] пространства) метрика |
Для [[нормированное векторное пространство|линейных нормированных пространств]] (включая, [[гильбертово пространство|гильбертовы]] и конечномерное [[евклидово пространство|евклидовы]] пространства) метрика задаётся нормой, поэтому то же определение даётся в терминах нормы. |
||
Пусть, <math>f\colon {N_1}\to {N_2}</math> отображение между [[нормированное векторное пространство|нормированными пространствами]] с нормами <math>\|{*}\|_1</math> и <math>\|{*}\|_2</math> соответственно. Функция <math>f</math> '''непрерывна в точке''' <math>a</math>, если для любого числа <math>\varepsilon > 0</math> найдётся такое число <math>\delta > 0</math>, что для всех точек <math>x \in N_1</math>, таких что <math>\|x-a\|_1< \delta</math> выполнено неравенство <math>\|f(x)-f(a)\|_2 < \varepsilon</math>, |
Пусть, <math>f\colon {N_1}\to {N_2}</math> отображение между [[нормированное векторное пространство|нормированными пространствами]] с нормами <math>\|{*}\|_1</math> и <math>\|{*}\|_2</math> соответственно. Функция <math>f</math> '''непрерывна в точке''' <math>a</math>, если для любого числа <math>\varepsilon > 0</math> найдётся такое число <math>\delta > 0</math>, что для всех точек <math>x \in N_1</math>, таких что <math>\|x-a\|_1< \delta</math> выполнено неравенство <math>\|f(x)-f(a)\|_2 < \varepsilon</math>, |
||
Метрические пространства (а значит и нормированные пространства) удовлетворяют первой аксиоме |
Метрические пространства (а значит и нормированные пространства) удовлетворяют первой аксиоме счётности, поэтому данное определение эквивалентно определению секвенциальной непрерывности. |
||
===Непрерывные функции (функционалы)=== |
===Непрерывные функции (функционалы)=== |
||
Строка 70: | Строка 70: | ||
{{main|Непрерывная функция}} |
{{main|Непрерывная функция}} |
||
Пусть, <math>f\colon \mathbb{R}\supset E\to\mathbb{R}</math>. (или <math>\mathbb{C}</math>.). Функция <math>f</math> '''непрерывна в точке''' <math>a</math>, если для любого числа <math>\varepsilon > 0</math> найдётся такое число <math>\delta > 0</math>, что для всех точек <math>x\in E</math> условие <math>|x-a|< \delta</math> |
Пусть, <math>f\colon \mathbb{R}\supset E\to\mathbb{R}</math>. (или <math>\mathbb{C}</math>.). Функция <math>f</math> '''непрерывна в точке''' <math>a</math>, если для любого числа <math>\varepsilon > 0</math> найдётся такое число <math>\delta > 0</math>, что для всех точек <math>x\in E</math> условие <math>|x-a|< \delta</math> влечёт <math>|f(x)-f(a)| < \varepsilon</math>. |
||
Другими словами, функция <math>f</math> '''непрерывна в точке''' <math>a</math>, '''[[Предельная точка|предельной]] для множества''' <math>E</math>, если она ''имеет [[Предел функции|предел]]'' в данной точке и этот предел ''совпадает со значением функции'' в данной точке: |
Другими словами, функция <math>f</math> '''непрерывна в точке''' <math>a</math>, '''[[Предельная точка|предельной]] для множества''' <math>E</math>, если она ''имеет [[Предел функции|предел]]'' в данной точке и этот предел ''совпадает со значением функции'' в данной точке: |
Версия от 13:33, 19 февраля 2017
Непреры́вное отображе́ние (непрерывная функция) — отображение из одного пространства в другое, при котором близкие точки области определения переходят в близкие точки области значений.
Наиболее общее определение формулируется для отображений топологических пространств: непрерывным считается отображение, при котором прообраз всякого открытого множества открыт. Непрерывность отображений других типов пространств — метрических, нормированных и т. п. пространств — является непосредственным следствием общего (топологического) определения, но формулируется с использованием структур, заданных в соответствующих пространствах — метрики, нормы и т. д.
В математическом анализе и комплексном анализе, где рассматриваются числовые функции и их обобщения на случай многомерных пространств, непрерывность функции вводится на языке пределов: такие определения непрерывности были исторически первыми и послужили основой для формирования общего понятия.
Существование непрерывных отображений между пространствами, позволяет «переносить» свойства одного пространства в другое: например, непрерывный образ компактного пространства также является компактным.
Непрерывное отображение, которое обладает обратным и также непрерывным отображением, называется гомеоморфизмом. Гомеоморфизм порождает на классе топологических пространств отношение эквивалентности; пространства, гомеоморфные друг другу, обладают одними и теми же топологическими свойствами, а сами свойства, которые сохраняются при гомеоморфизмах, называются топологическими инвариантами.
Определения
Наиболее общее определение даётся в топологии.
Непрерывность в топологических пространствах
Отображение топологического пространства в топологическое пространство называется непрерывным, если прообраз любого открытого множества открыт, то есть:
- .
Непрерывность на подпространстве
Если рассмотреть некоторое подмножество множества , то на этом множестве, естественным образом, индуцируется топология , которую составляют всевозможные пересечения множества с множествами, входящими в топологию .
Отображение , непрерывное на множестве , будет непрерывным на любом его подмножестве в смысле индуцированной на нём топологии.
Непрерывность в точке
Непрерывность в точке формулируется на языке окрестностей и связывает систему окрестностей точки области определения с системой окрестностей соответствующей ей точки области значений.
Отображение называется непрерывным в точке , если для любой окрестности точки найдется такая окрестность точки , что .
Отображение непрерывно на некотором множестве тогда и только тогда, когда оно непрерывно в каждой точке данного множества.[1]
- В случае, если топологическое пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности, в частности для метрических пространств, непрерывность в точке эквивалентна т.н. секвенциальной непрерывности: если , то
Эквивалентные определения
Следующие ниже формулировки эквивалентны:
- прообраз всякого открытого множества открыт;
- прообраз всякого замкнутого множества замкнут;
- прообраз каждой окрестности точки области значений отображения является окрестностью соответствующей точки области определения;
- образ замыкания любого множества содержится в замыкании образа этого множества;
- замыкание прообраза любого множества содержится в прообразе замыкания.
Таким образом, каждая из этих формулировок может быть использована в качестве определения непрерывности отображения.
Непрерывность в метрических и нормированных пространствах
В метрических пространствах топология задаётся семейством открытых шаров разных «радиусов», определяемых метрикой, поэтому общее определение формулируется в терминах этой метрики ("эпсилон-дельта" - определение):
Отображение метрического пространства в метрическое пространство называется непрерывным в точке , если для всякого существует , что для всякого , такого, что , выполняется неравенство: .
Для линейных нормированных пространств (включая, гильбертовы и конечномерное евклидовы пространства) метрика задаётся нормой, поэтому то же определение даётся в терминах нормы.
Пусть, отображение между нормированными пространствами с нормами и соответственно. Функция непрерывна в точке , если для любого числа найдётся такое число , что для всех точек , таких что выполнено неравенство ,
Метрические пространства (а значит и нормированные пространства) удовлетворяют первой аксиоме счётности, поэтому данное определение эквивалентно определению секвенциальной непрерывности.
Непрерывные функции (функционалы)
В случае числовой оси нормой обычно является модуль числа, поэтому определение непрерывности функционала (или .), где - произвольное топологическое пространство, следующее:
Фунционал , называется непрерывным в точке , если для любого найдется окрестность этой точки, такая, что выполнено условие .
Множество непрерывных на функционалов (функций) принято обозначать . Частным случаем непрерывных функционалов являются непрерывные функции числового аргумента.
Непрерывная числовая функция
Пусть, . (или .). Функция непрерывна в точке , если для любого числа найдётся такое число , что для всех точек условие влечёт .
Другими словами, функция непрерывна в точке , предельной для множества , если она имеет предел в данной точке и этот предел совпадает со значением функции в данной точке:
Функция непрерывна на множестве , если она непрерывна в каждой точке данного множества. В этом случае говорят, что функция класса и пишут: или, подробнее, .
Свойства непрерывных отображений
- Полный прообраз любого открытого (замкнутого) множества при непрерывном отображении — открытое (замкнутое) множество
- Образ компактного множества при непрерывном отображении — компактное множество.
- Непрерывная числовая функция на компактном множестве ограничена и достигает своих верхней и нижней граней. Это свойство следует из предыдущего.
- Образ связного множества при непрерывном отображении - связное множество.
- Теорема Титце. Любая вещественнозначная непрерывная функция, определённая на замкнутом подмножестве нормального пространства, может быть продолжена до непрерывной функции на всём пространстве.
- Композиция непрерывных отображений также является непрерывным отображением.
- Сумма, разность и произведение непрерывных вещественнозначных функций непрерывны.
- Из непрерывности линейного отображения одного линейного топологического пространства в другое следует его ограниченность. В случае нормированных пространств непрерывность линейного отображения эквивалентна ограниченности.
- Теорема Стоуна-Вейерштрасса (обобщение классической теоремы Вейерштрасса). Пусть - пространство непрерывных функций на компактном хаусдорфовом топологическом пространстве . Пусть - подмножество , содержащее константы, замкнутое относительно композиции и линейной комбинации функций, а также содержащее пределы своих равномерно сходящихся последовательностей функций. В таком случае тогда и только тогда, когда , существует , такая что .
Связанные определения
- Гомеоморфизм — непрерывное взаимно-однозначное отображение одного топологического пространства в другое с также непрерывным обратным отображением.
- Равномерная непрерывность
См. также
- Пространство непрерывных функций
- Линейный непрерывный оператор
- Предел функции
- Общая топология
- Топологическое пространство
- Открытое отображение
- Равномерная непрерывность
Ссылки
Математические Этюды Мультик про непрерывность
Примечания
- ↑ В математическом анализе понятие непрерывности сначала формулируется локально, в некоторой точке, а непрерывность на множестве определяется как непрерывность в каждой точке данного множества.
Литература
- Келли Дж. Л. Глава 3. Произведения и фактор-пространства // Общая топология = General topology. — 2-е изд. — М.: Наука, 1981. — С. 119—151. — 438 с.