Биекция: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
отмена правки 84067440 участника 77.106.74.87 (обс); Для такой правки нужен источник |
оформление отображений |
||
Строка 9: | Строка 9: | ||
== Определение == |
== Определение == |
||
[[Функция (математика)|Функция]] <math>f |
[[Функция (математика)|Функция]] <math>f\colon X\to Y</math> называется '''биекцией''' (и обозначается <math>f\colon X\leftrightarrow Y</math>), если она: |
||
# Переводит разные элементы [[множество|множества]] <math>X</math> в разные элементы множества <math>Y</math> ([[Инъекция (математика)|инъективность]]). Иными словами, |
# Переводит разные элементы [[множество|множества]] <math>X</math> в разные элементы множества <math>Y</math> ([[Инъекция (математика)|инъективность]]). Иными словами, |
||
#* <math>\forall x_1\in X,\;\forall x_2\in X\; x_1 \ne x_2\Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2)</math>. |
#* <math>\forall x_1\in X,\;\forall x_2\in X\; x_1 \ne x_2\Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2)</math>. |
||
Строка 18: | Строка 18: | ||
== Примеры == |
== Примеры == |
||
* [[Тождественное отображение]] <math>\mathrm{id} |
* [[Тождественное отображение]] <math>\mathrm{id}\colon X\to X</math> на множестве <math>X</math> биективно. |
||
* <math>f(x)=x,\;f(x)=x^3</math> — биективные функции из <math>\R</math> в себя. Вообще, любой [[моном]] одной [[Переменная величина|переменной]] [[Чётные и нечётные числа|нечетной]] [[степень многочлена|степени]] является биекцией из <math>\R</math> в себя. |
* <math>f(x)=x,\;f(x)=x^3</math> — биективные функции из <math>\R</math> в себя. Вообще, любой [[моном]] одной [[Переменная величина|переменной]] [[Чётные и нечётные числа|нечетной]] [[степень многочлена|степени]] является биекцией из <math>\R</math> в себя. |
||
* <math>f(x)=e^x</math> — биективная функция из <math>\R</math> в <math>\R_+=(0,\;+\infty)</math>. |
* <math>f(x)=e^x</math> — биективная функция из <math>\R</math> в <math>\R_+=(0,\;+\infty)</math>. |
||
Строка 26: | Строка 26: | ||
[[Файл:Bijective_composition.svg|thumb|300px|Композиция [[Инъективность|инъекции]] и [[Сюръекция|сюръекции]], дающая биекцию.]] |
[[Файл:Bijective_composition.svg|thumb|300px|Композиция [[Инъективность|инъекции]] и [[Сюръекция|сюръекции]], дающая биекцию.]] |
||
* Функция <math>f |
* Функция <math>f\colon X\to Y</math> является биективной тогда и только тогда, когда существует [[обратная функция]] <math>f^{-1}\colon Y\to X</math> такая, что |
||
: <math>\forall x\in X\;f^{-1}(f(x))=x</math> и <math>\forall y\in Y\;f(f^{-1}(y))=y.</math> |
: <math>\forall x\in X\;f^{-1}(f(x))=x</math> и <math>\forall y\in Y\;f(f^{-1}(y))=y.</math> |
||
* Если функции <math>f</math> и <math>g</math> биективны, то и композиция функций <math>g\circ f</math> биективна, в этом случае <math>(g\circ f)^{-1} = f^{-1}\circ g^{-1}</math>. Коротко: '''[[Композиция функций|композиция]] биекций является биекцией.''' Обратное, однако, неверно: если <math>g\circ f</math> биективна, то мы можем утверждать лишь, что <math>f</math> инъективна, а <math>g</math> сюръективна. |
* Если функции <math>f</math> и <math>g</math> биективны, то и композиция функций <math>g\circ f</math> биективна, в этом случае <math>(g\circ f)^{-1} = f^{-1}\circ g^{-1}</math>. Коротко: '''[[Композиция функций|композиция]] биекций является биекцией.''' Обратное, однако, неверно: если <math>g\circ f</math> биективна, то мы можем утверждать лишь, что <math>f</math> инъективна, а <math>g</math> сюръективна. |
Версия от 06:24, 29 декабря 2017
Биекция — это отображение, которое является одновременно и сюръективным, и инъективным. При биективном отображении каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, при этом определено обратное отображение, которое обладает тем же свойством. Поэтому биективное отображение называют ещё взаимно-однозначным отображением (соответствием), одно-однозначным отображением.
Если между двумя множествами можно установить взаимно-однозначное соответствие (биекцию), то такие множества называются равномощными. С точки зрения теории множеств, равномощные множества неразличимы.
Взаимно-однозначное отображение конечного множества в себя называется перестановкой (или подстановкой) элементов этого множества.
Определение
Функция называется биекцией (и обозначается ), если она:
- Переводит разные элементы множества в разные элементы множества (инъективность). Иными словами,
- .
- Любой элемент из имеет свой прообраз (сюръективность). Иными словами,
- .
Примеры
- Тождественное отображение на множестве биективно.
- — биективные функции из в себя. Вообще, любой моном одной переменной нечетной степени является биекцией из в себя.
- — биективная функция из в .
- не является биективной функцией, если считать её определённой на всём .
Свойства
- Функция является биективной тогда и только тогда, когда существует обратная функция такая, что
- и
- Если функции и биективны, то и композиция функций биективна, в этом случае . Коротко: композиция биекций является биекцией. Обратное, однако, неверно: если биективна, то мы можем утверждать лишь, что инъективна, а сюръективна.
Применения
В информатике
Организация связи «один к одному» между таблицами реляционной БД на основе первичных ключей.
Примечания
См. также
- Инъекция (математика)
- Сюръекция
- Отображение
- Гомоморфизм
- Морфизм
- Эндоморфизм
- Автоморфизм
- Мономорфизм
- Эпиморфизм
- Биморфизм
- Изоморфизм
- Синоним
- Подобие
- Аналогия
Литература
- Н. К. Верещагин, А. Шень. Часть 1. Начала теории множеств // Лекции по математической логике и теории алгоритмов. — 2-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2002. — 128 с.
- Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. . Математическая логика: Учебное пособие. — 3-е, стереотип. изд. — СПб.: Лань, 2004. — 336 с.
Для улучшения этой статьи желательно:
|