Среднее кубическое

Среднее кубическое (также средняя кубическая) — число $x$, равное кубическому корню из среднего арифметического кубов данных чисел $a_{1},a_{2},...,a_{n}$:

$x={\sqrt[{3}]{\frac {a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+\ldots +a_{n}^{3}}{n}}}$

Свойства

Среднее кубическое — частный случай среднего степенного и потому подчиняется неравенству о средних. В частности, для любых чисел оно не меньше среднего арифметического:

${\frac {a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}}{n}}\leqslant {\sqrt[{3}]{\frac {a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+\ldots +a_{n}^{3}}{n}}}$

Применение

Среднее кубическое является характеристикой объёмных признаков. Может использоваться, например, для расчёта среднего объёма предметов по их диаметрам. Так, если известны диаметры яиц, то их средний объём может быть рассчитан с помощью среднего кубического. Среднее кубическое находит применение в статистике.

Среднее кубическое для функции

Среднее кубическое можно также определить для непрерывной функции $f(t)$, заданной на отрезке $[T_{1},\,T_{2}]$, по формуле

$x={\sqrt[{3}]{{\dfrac {1}{T_{2}-T_{1}}}\int \limits _{T_{1}}^{T_{2}}f^{3}(t)\,dt,}}$

а также для непрерывной функции $f(t)$, определённой на положительной полуоси:

$x=\lim _{T\rightarrow \infty }{\sqrt[{3}]{{\dfrac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}f^{3}(t)\,dt.}}$

Среднее кубическое для периодической функции по положительной полуоси равно среднему кубическому по периоду функции.

Пример вычисления

Рассмотрим функцию синуса

$x(t)=A\sin(\omega t),$

где $t$ — время, $A$ — амплитуда, а $\omega$ — частота в радианах на единицу времени. Тогда

$\omega ={\dfrac {2\pi }{T}}$

и среднее кубическое вычисляется как

$x={\sqrt[{3}]{{\dfrac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}A^{3}\sin ^{3}\left({\dfrac {2\pi }{T}}t\right)\,dt}}={\dfrac {A}{\sqrt[{3}]{2\pi }}}{\sqrt[{3}]{\int \limits _{0}^{2\pi }\sin ^{3}(t)\,dt.}}$