В аналитической механике и квантовой теории поля минимальная связь относится к взаимодействию между полями , которая включает в себя только распределение заряда , а не высшие мультипольные моменты распределения заряда. Эта минимальная связь отличается, например, от взаимодействия Паули , которая включает магнитный момент электрона непосредственно в лагранжиан [1] .
В электродинамике минимальной связи достаточно для учёта всех электромагнитных взаимодействий. Более высокие моменты частиц являются следствием минимальной связи и ненулевого спина .
Нерелятивистская заряженная частица в электромагнитном поле [ править | править код ]
В декартовых координатах лагранжиан нерелятивистской классической частицы в электромагнитном поле имеет вид (в единицах СИ ):
L
=
∑
i
1
2
m
x
˙
i
2
+
∑
i
q
x
˙
i
A
i
−
q
φ
{\displaystyle {\mathcal {L}}=\sum _{i}{\tfrac {1}{2}}m{\dot {x}}_{i}^{2}+\sum _{i}q{\dot {x}}_{i}A_{i}-q\varphi }
где q — электрический заряд частицы, φ — электрический скалярный потенциал , а Ai — компоненты магнитного векторного потенциала , которые могут явно зависеть от
x
i
{\displaystyle x_{i}}
и
t
{\displaystyle t}
.
Этот лагранжиан в сочетании с уравнением Эйлера-Лагранжа приводит к выраению для силы Лоренца
m
x
¨
=
q
E
+
q
x
˙
×
B
,
{\displaystyle m{\ddot {\mathbf {x} }}=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x} }}\times \mathbf {B} \,,}
и называется минимальной связью.
Значения скалярного и векторного потенциалов будут меняться при калибровочных преобразованиях [2] , и сам лагранжиан также будет включать дополнительные члены. Дополнительные члены в лагранжиане сворачиваются в полную производную по времени от скалярной функции и, следовательно, по-прежнему дают то же уравнение Эйлера — Лагранжа.
Канонические импульсы имеют вид
p
i
=
∂
L
∂
x
˙
i
=
m
x
˙
i
+
q
A
i
{\displaystyle p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}=m{\dot {x}}_{i}+qA_{i}}
Здесь канонические импульсы не являются калибровочно-инвариантными и не поддаются физическому измерению. Однако импульсы
P
i
≡
m
x
˙
i
=
p
i
−
q
A
i
{\displaystyle P_{i}\equiv m{\dot {x}}_{i}=p_{i}-qA_{i}}
являются калибровочно-инвариантными и физически измеримыми величинами.
Таким образом, гамильтониан после преобразований Лежандра лагранжиана имеет вид
H
=
{
∑
i
x
˙
i
p
i
}
−
L
=
∑
i
(
p
i
−
q
A
i
)
2
2
m
+
q
φ
{\displaystyle {\mathcal {H}}=\left\{\sum _{i}{\dot {x}}_{i}p_{i}\right\}-{\mathcal {L}}=\sum _{i}{\frac {\left(p_{i}-qA_{i}\right)^{2}}{2m}}+q\varphi }
принимая вид уравнение часто используемый в квантовой механике .
При калибровочном преобразовании
A
→
A
+
∇
f
,
φ
→
φ
−
f
˙
,
{\displaystyle \mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla f\,,\quad \varphi \rightarrow \varphi -{\dot {f}}\,,}
где f (r , t ) — любая скалярная функция координат и времени, вышеупомянутый лагранжиан, канонические импульсы и преобразование Гамильтона, например
L
→
L
′
=
L
+
q
d
f
d
t
,
p
→
p
′
=
p
+
q
∇
f
,
H
→
H
′
=
H
−
q
∂
f
∂
t
,
{\displaystyle L\rightarrow L'=L+q{\frac {df}{dt}}\,,\quad \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p'} =\mathbf {p} +q\nabla f\,,\quad H\rightarrow H'=H-q{\frac {\partial f}{\partial t}}\,,}
которое по-прежнему приводит к тому же уравнению Гамильтона
∂
H
′
∂
x
i
|
p
i
′
=
∂
∂
x
i
|
p
i
′
(
x
˙
i
p
i
′
−
L
′
)
=
−
∂
L
′
∂
x
i
|
p
i
′
=
−
∂
L
∂
x
i
|
p
i
′
−
q
∂
∂
x
i
|
p
i
′
d
f
d
t
=
−
d
d
t
(
∂
L
∂
x
˙
i
|
p
i
′
+
q
∂
f
∂
x
i
|
p
i
′
)
=
−
p
˙
i
′
{\displaystyle {\begin{aligned}\left.{\frac {\partial H'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}&=\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}({\dot {x}}_{i}p'_{i}-L')=-\left.{\frac {\partial L'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\\&=-\left.{\frac {\partial L}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}-q\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}{\frac {df}{dt}}\\&=-{\frac {d}{dt}}\left(\left.{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {x}}_{i}}}}\right|_{p'_{i}}+q\left.{\frac {\partial f}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\right)\\&=-{\dot {p}}'_{i}\end{aligned}}}
В квантовой механике волновая функция также претерпевает локальное групповое преобразование U(1) [3] во время калибровочного преобразования, из чего следует, что все физические результаты должны быть инвариантны относительно локальных преобразований группы U(1).
Релятивистская заряженная частица в электромагнитном поле [ править | править код ]
Релятивистский лагранжиан для частицы с массой покоя m и электрическим зарядом q определяется выражением:
L
(
t
)
=
−
m
c
2
1
−
x
˙
(
t
)
2
c
2
+
q
x
˙
(
t
)
⋅
A
(
x
(
t
)
,
t
)
−
q
φ
(
x
(
t
)
,
t
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}(t)=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {{{\dot {\mathbf {x} }}(t)}^{2}}{c^{2}}}}}+q{\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {A} \left(\mathbf {x} (t),t\right)-q\varphi \left(\mathbf {x} (t),t\right)}
Таким образом, канонический импульс частицы равен
p
(
t
)
=
∂
L
∂
x
˙
=
m
x
˙
1
−
x
˙
2
c
2
+
q
A
{\displaystyle \mathbf {p} (t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {x} }}}}={\frac {m{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}+q\mathbf {A} }
то есть сумма кинетического импульса и потенциального импульса.
Выражая скорость, получается
x
˙
(
t
)
=
p
−
q
A
m
2
+
1
c
2
(
p
−
q
A
)
2
{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)={\frac {\mathbf {p} -q\mathbf {A} }{\sqrt {m^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)}^{2}}}}}
приводя гамильтониан к виду
H
(
t
)
=
x
˙
⋅
p
−
L
=
c
m
2
c
2
+
(
p
−
q
A
)
2
+
q
φ
{\displaystyle {\mathcal {H}}(t)={\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {p} -{\mathcal {L}}=c{\sqrt {m^{2}c^{2}+{\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)}^{2}}}+q\varphi }
В результате получается уравнение для силы (эквивалентное уравнению Эйлера — Лагранжа )
p
˙
=
−
∂
H
∂
x
=
q
x
˙
⋅
(
∇
A
)
−
q
∇
φ
=
q
∇
(
x
˙
⋅
A
)
−
q
∇
φ
{\displaystyle {\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {x} }}=q{\dot {\mathbf {x} }}\cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi =q{\boldsymbol {\nabla }}({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi }
из чего можно вывести, используется тождество векторного исчисления
d
d
t
(
m
x
˙
1
−
x
˙
2
c
2
)
=
d
d
t
(
p
−
q
A
)
=
p
˙
−
q
∂
A
∂
t
−
q
(
x
˙
⋅
∇
)
A
=
q
∇
(
x
˙
⋅
A
)
−
q
∇
φ
−
q
∂
A
∂
t
−
q
(
x
˙
⋅
∇
)
A
=
q
E
+
q
x
˙
×
B
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {m{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}\right)&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {p} -q\mathbf {A} )={\dot {\mathbf {p} }}-q{\frac {\partial A}{\partial t}}-q({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla )\mathbf {A} \\&=q{\boldsymbol {\nabla }}({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi -q{\frac {\partial A}{\partial t}}-q({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla )\mathbf {A} \\&=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x} }}\times \mathbf {B} \end{aligned}}}
Эквивалентное выражение для гамильтониана как функции релятивистского (кинетического) импульса P = γm ẋ (t ) = p - q A , равно
H
(
t
)
=
x
˙
(
t
)
⋅
P
(
t
)
+
m
c
2
γ
+
q
φ
(
x
(
t
)
,
t
)
=
γ
m
c
2
+
q
φ
(
x
(
t
)
,
t
)
=
E
+
V
{\displaystyle {\mathcal {H}}(t)={\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {P} (t)+{\frac {mc^{2}}{\gamma }}+q\varphi (\mathbf {x} (t),t)=\gamma mc^{2}+q\varphi (\mathbf {x} (t),t)=E+V}
Зжесь кинетический импульс P можно измерить экспериментально, тогда как канонический импульс p — нет. Полную энергию можно рассматривать как сумму релятивистской энергии (кинетической + энергию покоя) E = γmc 2 плюс потенциальную энергию V = eφ .
В исследованиях космологической инфляции минимальная связь скалярного поля обычно относится к минимальному взаимодействию с гравитацией. Это означает, что действие для поля инфлатона
φ
{\displaystyle \varphi }
не связана со скалярной кривизной . Его единственная связь с гравитацией — это связь с инвариантной мерой Лоренца
g
d
4
x
{\displaystyle {\sqrt {g}}\,d^{4}x}
построенный в метрике (в планковских единицах ):
S
=
∫
d
4
x
g
(
−
1
2
R
+
1
2
∇
μ
φ
∇
μ
φ
−
V
(
φ
)
)
{\displaystyle S=\int d^{4}x\,{\sqrt {g}}\,\left(-{\frac {1}{2}}R+{\frac {1}{2}}\nabla _{\mu }\varphi \nabla ^{\mu }\varphi -V(\varphi )\right)}
где
g
:=
det
g
μ
ν
{\displaystyle g:=\det g_{\mu \nu }}
и используется калибровочная ковариантная производная .