Полная производная функции

Полная производная функции — производная функции по времени вдоль траектории.

Расчёт полной производной функции $f = f(t, x(t), y(t))$ по времени t, $\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} t}$ (в отличие от частной производной, $\frac{\partial f}{\partial t}$) не подразумевает, что другие аргументы (т.е. иные нежели аргумент, t, по которому ведётся полное дифференцирование: x и y) постоянны при изменяющемся t. Полная производная включает в себя эти непрямые зависимости от t (т.е. x(t) и y(t)) для описания зависимости f от t.

Пример №1

Например, для упомянутой функции f = f(t, x(t), y(t)) полная производная функции вычисляется по следующему правилу:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} f(t_0, x(t_0), y(t_0))= \left.\frac{\partial f}{\partial t} \right|_{t_0,x(t_0),y(t_0)} \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}t} + \left. \frac{\partial f}{\partial x}\right|_{t_0,x(t_0),y(t_0)} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} + \left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{t_0,x(t_0),y(t_0)} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t},$

что упрощается до

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} f(t, x(t), y(t))= \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t},$

где $\frac{\partial f}{\partial t}, \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}$ — частные производные.

Следует отметить, что обозначение $\frac{df}{dt}$ является условным и не означает деления дифференциалов. Кроме того, полная производная функции зависит не только от самой функции, но и от траектории.

Пример №2

Например, полная производная функции $f(x(t), y(t))$:

${ df \over dt } = { \partial f \over \partial x}{ dx \over dt }+{ \partial f \over \partial y}{ dy \over dt }$

Здесь нет ${ \partial f \over \partial t }$ так как $f$ сама по себе («явно») не зависит от $t$.

Приложения

• Теорема Лиувилля о сохранении фазового объёма

См. также

• Конвективная производная
• Производная Лагранжа
• Производная по направлению