Оператор Лапласа — Бельтрами

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Опера́тор Лапла́са — Бельтра́ми (называется иногда оператором Бельтра́ми — Лапла́са или просто оператором Бельтра́ми) — дифференциальный оператор второго порядка, действующий в пространстве гладких (или аналитических) функций на римановом многообразии M.

В координатах x_1, \ldots, x_n, где n=\dim M, оператор Лапласа — Бельтрами задается следующим образом. Пусть (g_{ij}) — матрица метрического тензора риманова многообразия, (g^{ij}) — обратная матрица и g = \det(g_{ij}), тогда оператор Лапласа — Бельтрами имеет вид

 - \sum_{i,j} \frac{1}{\sqrt{g}} \frac{\partial}{\partial x_i} \biggl(g^{ij}\sqrt{g} \frac{\partial}{\partial x_j}\biggr).  \qquad (*)

Примеры[править | править вики-текст]

  • Пусть \dim M=2 и метрический тензор имеет вид ds^2= E(x,y)\,dx^2 + 2F(x,y)\,dxdy + G(x,y)\,dy^2, тогда формула (*) принимает вид: \frac{\partial}{\partial x} \biggl(\frac{F\frac{\partial}{\partial y}-G\frac{\partial}{\partial x}}{\sqrt{EG-F^2}}\biggr) + \frac{\partial}{\partial y} \biggl(\frac{F\frac{\partial}{\partial x}-E\frac{\partial}{\partial y}}{\sqrt{EG-F^2}}\biggr). \qquad (**)
  • Дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка Lf=0, где оператор L задан формулой (**), разрешимо, если функции E,F,G аналитические или достаточно гладкие. Этот факт используется для доказательства существования локальных изотермических (конформных) координат на поверхности M, т. е. доказательства того, что каждое двумерное риманово многообразие локально конформно эквивалентно евклидовой плоскости.[1]

Литература[править | править вики-текст]

  • Розенблюм Г. В., Соломяк М. З., Шубин М. А. Спектральная теория дифференциальных операторов, — Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 64, ВИНИТИ, М., 1989.
  • Трев Ф. Введение в теорию псевдодифференциальных операторов и интегральных операторов Фурье, — М., Мир, 1984.
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия (методы и приложения), — Любое издание.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия (методы и приложения), гл. 2, параграф 13.