Численное дифференцирование

Численное дифференцирование — совокупность методов вычисления значения производной дискретно заданной функции.

Введение

В основе численного дифференцирования лежит аппроксимация функции, от которой берется производная, интерполяционным многочленом. Все основные формулы численного дифференцирования могут быть получены при помощи первого интерполяционного многочлена Ньютона (формулы Ньютона для начала таблицы).

Основными задачами являются вычисление производной на краях таблицы и в ее середине. Для равномерной сетки формулы численного дифференцирования «в начале таблицы» можно представить в общем виде следующим образом:

$f'_i = \frac{1}{b h} \sum_j a_j f_{i+j} + \Delta(f),$

где $~\Delta(f)$ — погрешность формулы. Здесь коэффициенты $~a_j$ и $~b$ зависят от степени n использовавшегося интерполяционного многочлена, то есть от необходимой точности (скорости сходимости к точному значению при уменьшении шага сетки) формулы. Коэффициенты представлены в таблице

$n$	$a_0$	$a_1$	$a_2$	$a_3$	$a_4$	$a_5$	$b$
$1$	$-1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$1$
$2$	$-3$	$4$	$-1$	$0$	$0$	$0$	$2$
$3$	$-11$	$18$	$-9$	$2$	$0$	$0$	$6$
$4$	$-25$	$48$	$-36$	$16$	$-3$	$0$	$12$
$5$	$-137$	$300$	$-300$	$200$	$-75$	$12$	$60$

Погрешность вычислений

Погрешность вычисляется по формуле

$\Delta(f) = (-1)^n \frac{f^{(n)}(\xi)}{n+1} h^n,$

где $h$ — шаг сетки, а точка $\xi$ расположена где-то между $i$-ым и $(i+n)$-ым узлами. Примером может служить известная формула $(n=2)$

$f'_i = \frac{-3 f_i + 4 f_{i+1} - f_{i+2}}{2 h} + \frac{f'''(\xi)}{3} h^2$.

При $n=1$ формула может быть получена и из определения производной. Эта формула известна под названием формулы дифференцирования вперед.

Формулы «в конце таблицы» могут быть представлены в общем виде

$f'_i = - \frac{1}{b h} \sum_j a_j f_{i-j} + \frac{f^{(n)}(\xi)}{n+1} h^n,$

в которых коэффициенты $~a_j$ берутся из уже приведенной таблицы. В частности, при $n=1$ получается известная формула дифференцирования назад.

См. также

• Разделенная разность
• Численное интегрирование