Гипоэллиптический оператор

Гипоэллиптический оператор — дифференциальный оператор в частных производных, фундаментальное решение которого принадлежит классу $C^{\infty}$ во всех точках пространства, за исключением начала координат.

Определение

Пусть $\,P(\xi)$ — вещественный полином от переменных $\xi=(\xi_1, \ldots, \xi_n):$

$P(\xi) = \sum_{|\alpha|\le m} a_{\alpha} \xi^{\alpha} := \sum_{|\alpha|\le m} a_{\alpha} \xi_1^{\alpha_1} \cdots \xi_n^{\alpha_n},$

где $\alpha=(\alpha_1, \ldots, \alpha_n) \in \mathbb{Z}_+^n$ и $\,|\alpha| = \alpha_1+ \cdots+ \alpha_n$.

Определим соответствующий дифференциальный оператор:

$P(D) = \sum_{|\alpha|\le m} a_{\alpha} D^{\alpha} := \sum_{|\alpha|\le m} a_{\alpha} \frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x_1^{\alpha_1} \cdots \partial x_n^{\alpha_n}},$

где

$D=(D_1, \ldots, D_n), \quad D_j = \frac{\partial}{\partial x_j}, \quad j=1,\ldots,n.$

Обобщенная функция $\mathcal{E}(x)$ называется фундаментальным решением дифференциального оператора $\,P(D)$, если она является решением уравнения $P(D)\mathcal{E}(x) = \delta(x),$ где $\,\delta(x)$ — дельта-функция Дирака. Оператор $\,P(D)$ называется гипоэллиптическим, если $\mathcal{E}(x)$ принадлежит классу $C^{\infty}$ при всех $x \neq 0$.

Свойства

Следующий критерий гипоэллиптичности части используется в качестве определения гипоэллиптического оператора:

Теорема 1. Оператор $\,P(D)$ является гипоэллиптическим, если и только если для любой открытой области $U \subset \mathbb{R}^n$ всякое решение $\,u(x)$ (обобщенная функция) уравнения $P(D)\,u(x) = f(x), \quad x \in U,$ с любой правой частью $f \in C^{\infty}(U)$ также принадлежит классу $u \in C^{\infty}(U).$

Также имеет место следующий алгебраический критерий гипоэллиптичности, установленный Хёрмандером:

Теорема 2. Оператор $\,P(D)$ является гипоэллиптическим, если и только если $\frac{P^{(k)}(-i\xi)}{P(-i\xi)} \, \to \, 0, \quad \ |\xi| \to \infty,$ для всех $\, k=(k_1, \ldots, k_n) \in \mathbb{Z}_+^n, \, \ |k| \ge 1,$ где $\,i$ — мнимая единица.

Примеры

• Любой эллиптический оператор является гипоэллиптическим, например, оператор Лапласа.
• Оператор теплопроводности является гипоэллиптическим, но не эллиптическим.
• Оператор Д’Аламбера не является гипоэллиптическим.

Литература

• Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными, — М.: Мир, 1986—1988.
• Владимиров В.С. Обобщённые функции в математической физике, — М.: Наука, 1979.
• Егоров Ю.В., Шубин М.А. Линейные дифференциальные уравнения с частными производными. Основы классической теории, — Дифференциальные уравнения с частными производными — 1, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 30, ВИНИТИ, М., 1988, 5—255.