Гипоэллиптический оператор

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Гипоэллиптический оператордифференциальный оператор в частных производных, фундаментальное решение которого принадлежит классу C^{\infty} во всех точках пространства, за исключением начала координат.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть \,P(\xi) — вещественный полином от переменных \xi=(\xi_1, \ldots, \xi_n):

P(\xi) = 
\sum_{|\alpha|\le m} a_{\alpha} \xi^{\alpha} :=
\sum_{|\alpha|\le m} a_{\alpha} \xi_1^{\alpha_1} \cdots \xi_n^{\alpha_n},

где \alpha=(\alpha_1, \ldots, \alpha_n) \in \mathbb{Z}_+^n и \,|\alpha| = \alpha_1+ \cdots+ \alpha_n.

Определим соответствующий дифференциальный оператор:

P(D) = \sum_{|\alpha|\le m} a_{\alpha} D^{\alpha} := 
\sum_{|\alpha|\le m} a_{\alpha} \frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x_1^{\alpha_1} \cdots \partial x_n^{\alpha_n}},

где

D=(D_1, \ldots, D_n), \quad D_j = \frac{\partial}{\partial x_j}, \quad  j=1,\ldots,n.

Обобщенная функция \mathcal{E}(x) называется фундаментальным решением дифференциального оператора \,P(D), если она является решением уравнения P(D)\mathcal{E}(x) = \delta(x), где \,\delta(x)дельта-функция Дирака. Оператор \,P(D) называется гипоэллиптическим, если \mathcal{E}(x) принадлежит классу C^{\infty} при всех x \neq 0.

Свойства[править | править вики-текст]

Следующий критерий гипоэллиптичности части используется в качестве определения гипоэллиптического оператора:

Теорема 1. Оператор \,P(D) является гипоэллиптическим, если и только если для любой открытой области U \subset \mathbb{R}^n всякое решение \,u(x) (обобщенная функция) уравнения

P(D)\,u(x) = f(x), \quad x \in U,

с любой правой частью f \in C^{\infty}(U) также принадлежит классу u \in C^{\infty}(U).


Также имеет место следующий алгебраический критерий гипоэллиптичности, установленный Хёрмандером:

Теорема 2. Оператор \,P(D) является гипоэллиптическим, если и только если

\frac{P^{(k)}(-i\xi)}{P(-i\xi)} \, \to \, 0, \quad \ |\xi| \to \infty,

для всех \, k=(k_1, \ldots, k_n) \in \mathbb{Z}_+^n, \, \ |k| \ge 1, где \,iмнимая единица.


Примеры[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]