Теорема Радона — Никодима

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теоре́ма Радо́на — Нико́дима в функциональном анализе и смежных дисциплинах описывает общий вид меры, абсолютно непрерывной относительно другой меры.

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть (X,\;\mathcal{F},\;\mu) — пространство с мерой и мера \mu \sigma-конечна. Тогда если мера \nu\colon\mathcal{F} \to \mathbb{R} абсолютно непрерывна относительно \mu (\nu \ll \mu), то существует измеримая функция f\colon X \to \mathbb{R}, такая что

\nu(A) = \int\limits_{A}\!f(x)\, \mu(dx),\quad \forall A \in \mathcal{F},

где интеграл понимается в смысле Лебега.

Связанные понятия[править | править вики-текст]

Свойства[править | править вики-текст]

\frac{d(\mu+\nu)}{d\lambda} = \frac{d\mu}{d\lambda} + \frac{d\nu}{d\lambda}.
  • Пусть \nu \ll \mu \ll \lambda. Тогда
 \frac{d\nu}{d\lambda}=\frac{d\nu}{d\mu}\frac{d\mu}{d\lambda} выполнено \lambda-почти всюду.
  • Пусть \mu \ll \lambda и g\colon X \to \mathbb{R} — измеримая функция, интегрируемая относительно меры \mu, то
 \int\limits_X\!g(x)\,\mu(dx) = \int\limits_X\!g(x)\,\frac{d\mu}{d\lambda}(x)\,\lambda(dx).
  • Пусть \mu \ll \nu и \nu \ll \mu. Тогда
 \frac{d\mu}{d\nu}=\left(\frac{d\nu}{d\mu}\right)^{-1}.
 {d|\nu|\over d\mu} = \left|{d\nu\over d\mu}\right|.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Аналогичная теорема справедлива для зарядов, то есть знакопеременных мер.

См. также[править | править вики-текст]