Теорема Радона — Никодима

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия (не проверялась)

Теоре́ма Радо́на — Нико́дима в функциональном анализе и смежных дисциплинах описывает общий вид меры, абсолютно непрерывной относительно другой меры.

Содержание

1 Формулировка
2 Связанные понятия
3 Свойства
4 Вариации и обобщения
5 См. также

[править] Формулировка

Пусть $(X,\;\mathcal{F},\;\mu)$ — пространство с мерой и мера $μ$ $σ$ -конечна. Тогда если мера $\nu\colon\mathcal{F} \to \mathbb{R}$ абсолютно непрерывна относительно $μ$ $(\nu \ll \mu)$ , то существует измеримая функция $f\colon X \to \mathbb{R}$ , такая что

$\nu(A) = \int\limits_{A}\!f(x)\, \mu(dx),\quad \forall A \in \mathcal{F},$

где интеграл понимается в смысле Лебега.

[править] Связанные понятия

Функция f, существование которой гарантируется теоремой Радона — Никодима, называется производной Радона — Никодима меры ν относительно меры μ. Пишут:

$f = \frac{d\nu}{d \mu}.$
- Если $(X,\;\mathcal{F}) = \left(\mathbb{R}^k,\;\mathcal{B}(\mathbb{R}^k)\right)$ — $k$ -мерное векторное пространство с борелевской σ-алгеброй, $\nu = \mathbb{P}^{X}$ — распределение некоторой случайной величины $X$ , а $μ = m$ — мера Лебега на $\mathbb{R}^k$ , то производная Радона — Никодима меры $\mathbb{P}^X$ относительно меры $m$ называется плотностью распределения случайной величины $X$ .

[править] Свойства

Пусть $\lambda,\;\mu,\;\nu$ — $σ$ -конечные меры, определённые на одном и том же измеримом пространстве $(X,\;\mathcal{F})$ . Тогда если $\mu \ll \lambda$ и $\nu \ll \lambda$ , то