Теорема Радона — Никодима

Теоре́ма Радо́на — Нико́дима в функциональном анализе и смежных дисциплинах описывает общий вид меры, абсолютно непрерывной относительно другой меры.

Формулировка

Пусть $(X,\;\mathcal{F},\;\mu)$ — пространство с мерой и мера $\mu$ $\sigma$-конечна. Тогда если мера $\nu\colon\mathcal{F} \to \mathbb{R}$ абсолютно непрерывна относительно $\mu$ $(\nu \ll \mu)$, то существует измеримая функция $f\colon X \to \mathbb{R}$, такая что

$\nu(A) = \int\limits_{A}\!f(x)\, \mu(dx),\quad \forall A \in \mathcal{F},$

где интеграл понимается в смысле Лебега.

Связанные понятия

• Функция $f$, существование которой гарантируется теоремой Радона — Никодима, называется производной Радона — Никодима меры $\nu$ относительно меры $\mu$. Пишут:

  $f = \frac{d\nu}{d \mu}.$

  • Если $(X,\;\mathcal{F}) = \left(\mathbb{R}^k,\;\mathcal{B}(\mathbb{R}^k)\right)$ — $k$-мерное векторное пространство с борелевской σ-алгеброй, $\nu = \mathbb{P}^{X}$ — распределение некоторой случайной величины $X$, а $\mu = m$ — мера Лебега на $\mathbb{R}^k$, то производная Радона — Никодима меры $\mathbb{P}^X$ относительно меры $m$ называется плотностью распределения случайной величины $X$.

Свойства

• Пусть $\lambda,\;\mu,\;\nu$ — $\sigma$-конечные меры, определённые на одном и том же измеримом пространстве $(X,\;\mathcal{F})$. Тогда если $\mu \ll \lambda$ и $\nu \ll \lambda$, то

$\frac{d(\mu+\nu)}{d\lambda} = \frac{d\mu}{d\lambda} + \frac{d\nu}{d\lambda}.$

• Пусть $\nu \ll \mu \ll \lambda$. Тогда

$\frac{d\nu}{d\lambda}=\frac{d\nu}{d\mu}\frac{d\mu}{d\lambda}$ выполнено $\lambda$-почти всюду.

• Пусть $\mu \ll \lambda$ и $g\colon X \to \mathbb{R}$ — измеримая функция, интегрируемая относительно меры $\mu$, то

$\int\limits_X\!g(x)\,\mu(dx) = \int\limits_X\!g(x)\,\frac{d\mu}{d\lambda}(x)\,\lambda(dx).$

• Пусть $\mu \ll \nu$ и $\nu \ll \mu$. Тогда

$\frac{d\mu}{d\nu}=\left(\frac{d\nu}{d\mu}\right)^{-1}.$

• Пусть $\nu$ — заряд. Тогда

${d|\nu|\over d\mu} = \left|{d\nu\over d\mu}\right|.$

Вариации и обобщения

Аналогичная теорема справедлива для зарядов, то есть знакопеременных мер.

См. также

• Никодим, Отто;
• Радон, Иоганн.