Производная Ли

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Производная Ли тензорного поля Q по направлению векторного поля X — главная линейная часть приращения тензорного поля Q при его преобразовании, которое индуцировано локальной однопараметрической группой диффеоморфизмов многообразия, порождённой полем X.

Названа в честь норвежского математика Софуса Ли.

Обычно обозначается \mathcal{L}_X Q.

Определения[править | править вики-текст]

Аксиоматическое[править | править вики-текст]

Производная Ли полностью определяется следующими своими свойствами. Такое определение наиболее удобно для практических вычислений, но требует доказательства существования.

  • Производная Ли \mathcal{L}_X f от скалярного поля f есть производная f по направлению X.
    \mathcal{L}_Xf=Xf.
  • Производная Ли \mathcal{L}_X Y от векторного поля Y есть скобка Ли векторных полей. (Производная Ли от поля Y по направлению поля X).
    \mathcal{L}_X Y=[X,Y].
  • Для произвольных векторных полей 1-формы \alpha выполняется равенство
    (\mathcal{L}_X\alpha)(Y)=(d\alpha)(X,Y)+Y\alpha(X).
  • (правило Лейбница) Для произвольных тензорных полей S и T, выполняется
    \mathcal{L}_X(S\otimes T)=(\mathcal{L}_XS)\otimes T+S\otimes (\mathcal{L}_XT).

Через поток[править | править вики-текст]

Пусть M — n-мерное гладкое многообразие и X — векторное поле на M.

Рассмотрим поток \Gamma^t_X\colon M\to M по X, определяемый соотношениями

\frac{d}{dt}\Gamma^t_X(p)=X_{\Gamma^t_X(p)}, \Gamma^0_X(p) = p.

Обратное отображение к дифференциалу \Gamma^t_X,

(d_p\Gamma^t_X)^{-1}\colon T_{\Gamma^t_X(p)}\to T_p

однозначно продолжается до гомоморфизма h_t алгебры тензоров над T_{\Gamma^t_X(p)} в алгебру тензоров над T_p. Таким образом произвольное тензорное поле Q, определяет однопараметрическое семейство полей Q_t=h_t(Q). Производная Ли может быть определена как

\mathcal{L}_X Q=\frac{d}{dt}Q_t|_{t=0}

Выражения в координатах[править | править вики-текст]

\mathcal{L}_\xi f = \xi^k \partial_k f, где f — скаляр.

\mathcal{L}_\xi y = \xi^k \partial_k y^i - y^k \partial_k \xi^i, где y — вектор, а y^i — его компоненты.

\mathcal{L}_\xi \omega = \xi^k \partial_k \omega_i + \omega_k \partial_i \xi^k, где \omega — 1-форма, а \omega_i — её компоненты.

\mathcal{L}_\xi g = \xi^k \partial_k g_{ij} + \partial_i \xi^k g_{kj} + \partial_j \xi^k g_{ik}, где g — метрический тензор, а g_{ij} — его компоненты.

Производная Ли для тензорного поля в неголономном репере[править | править вики-текст]

Пусть тензорное поле К типа (p, q) задано в неголономном репере \{ e_\alpha \}, тогда его производная Ли вдоль векторного поля Х задаётся следующей формулой:

(\mathcal{L}_X K)^{(\alpha)}_{(\beta)} = XK^{(\alpha)}_{(\beta)}-\{ K^{(\alpha)}_{(\beta)}P^*_* \},

где (\alpha)=(\alpha_1 ... \alpha_p),(\beta)=(\beta_1 ... \beta_q), и введены следующие обозначения:

\{ K^{(\alpha)}_{(\beta)}P^*_* \}=\sum^p_{s=1}K^{\alpha_1...\sigma...\alpha_p}_{(\beta)}P^{\alpha_s}_\sigma-\sum^q_{s=1}K^{(\alpha)}_{\beta_1...\sigma...\beta_q}P^{\sigma}_{\beta_s},

P^\alpha_\beta=e_\beta \xi^\alpha-R^\alpha_{\sigma\beta} \xi^\sigma

R^\sigma_{\alpha\beta}e_\sigma=[e_\alpha,e_\beta] — объект неголономности.

Свойства[править | править вики-текст]

  • \mathcal{L}_X (s) \R-линейно по X и по s. Здесь s — произвольное тензорное поле.
  • Производная Ли — дифференцирование на кольце тензорных полей.
  • На супералгебре внешних форм производная Ли является дифференцированием и однородным оператором степени 0.
  • Пусть v и u — векторные поля на многообразии, тогда
[\mathcal{L}_v, \mathcal{L}_u] = \mathcal{L}_v \mathcal{L}_u - \mathcal{L}_u \mathcal{L}_v
есть дифференцирование алгебры C^\infty(M), поэтому существует векторное поле [v,u], называемое скобкой Ли векторных полей (также их скобкой Пуассона или коммутатор), для которого
\mathcal{L}_{[v,u]} = [\mathcal{L}_v, \mathcal{L}_u].
  • Формула гомотопии (тождество Картана): \mathcal{L}_v\omega = i_v d\omega + d i_v\omega. Здесь \omega — дифференциальная k-форма, i_v — оператор внутреннего дифференцирования форм, определяемый как (i_v \omega)(X_1, \dots, X_{k-1}) = \omega (v, X_1, \dots, X_{k-1}).
  • Как следствие, \mathcal{L}_X d\omega = d \mathcal{L}_X \omega,\; \omega \in \Lambda^*(M)
  • \mathcal{L}_X (s) = \mathop{vpr}_F (Ts \circ X - X^F \circ s). Здесь s — гладкое сечение (естественного) векторного расслоения F (например, любое тензорное поле), X^F — поднятие векторного поля X на F, \mathop{vpr}_F — оператор вертикального проектирования на F. (См. далее)

Физический смысл производной Ли[править | править вики-текст]

Пусть векторное поле V(x, t) есть поле скоростей неинерциальной системы отсчёта относительно инерциальной системы отсчёта, то есть в каждой точке пространства x в каждый момент времени t определена скорость координатных сеток этих систем относительно друг друга. Тогда производная Ли вдоль векторного поля V(x, t) переносит производную по времени от каких-либо тензорных полей Q(x, t) из неинерциальной системы отсчёта в инерциальную, тем самым определяя инвариантную производную по времени от тензорных полей.

Обобщения[править | править вики-текст]

Естественные расслоения[править | править вики-текст]

Пусть F — естественное гладкое расслоение, то есть функтор, действующий из категории гладких многообразий в категорию расслоений над ними: F\colon M \mapsto (F(M),M,\pi_M),\; \pi_M\colon F(M)\to M. Произвольное векторное поле X\in TM порождает однопараметрическую группу диффеморфизмов \Gamma^t: M\to M, продолжающуюся с помощью F на пространство расслоения F(M), то есть F(\Gamma^t):F(M)\to F(M). Производная этой группы в нуле даёт векторное поле X^F\in TF(M), являющееся продолжением X. Группа F(\Gamma^t) также позволяет определить производную Ли по X от произвольных сечений s:M\to F(M) по такой же формуле, как и в классическом случае:

\mathcal{L}_X (s) = \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0} F(\Gamma^t)^* s = \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0} (F(\Gamma^{-t})\circ s \circ \Gamma^t)
\mathcal{L}_X (s) = Ts \circ X - X^F \circ s

Отметим, что в общем случае производная Ли является элементом соответствующего вертикального расслоения VF(M), то есть ядра отображения T\pi_M: TF(M)\to TM, так как T\pi_M \circ \mathcal{L}_X (s) = 0_M. Если F — векторное расслоение, то существует канонический изоморфизм vl:F(M)\times_M F(M) \simeq VF(M). Оператор вертикального проектирования vpr_F = \mathrm{pr}_2\circ vl^{-1} позволяет представить производную Ли как сечение исходного расслоения:

\mathcal{L}_X (s) = \mathop{vpr}_F (Ts \circ X - X^F \circ s)

Производная Ли по формам[править | править вики-текст]

Другое обобщение основано на исследовании супералгебры Ли дифференцирований супералгебры внешних форм. Среди всех таких дифференцирований особенно выделяются т. н. алгебраические, то есть те, которые равны 0 на функциях. Любое такое дифференцирование имеет вид i_K, где K\in TM\otimes \Lambda^*(M) — тангенциальнозначная форма, а оператор внутреннего дифференцирования i_K определяется по формуле (\omega \in \Lambda^{p+1} (M))

i_K \omega = \mathrm{Alt}(\omega \circ (K\otimes id^{\otimes p}))

Здесь \mathrm{Alt} — операция альтернирования отображения по всем переменным. Производная Ли по векторнозначной форме K определяется через суперкоммутатор операторов:

\mathcal{L}_K = [ i_K , d ]

Её значение определяется тем, что любое дифференцирование D супералгебры \Lambda^*(M) однозначно представимо в виде D = \mathcal{L}_K + i_S, где K, S — некоторые векторнозначные формы. Кроме того, по формуле [\mathcal{L}_K, \mathcal{L}_S] = \mathcal{L}_{[K,S]} можно ввести скобку Фролиха-Ниенхойса тангенциальнозначных форм.

Литература[править | править вики-текст]

  • Ш. Кобаяси, К. Номидзу. Основы дифференциальной геометрии. — 1981. — Т. 1. — 344 с.
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е, перераб. — М.: Наука, 1986. — Т. 1. — 760 с.
  • Ivan Kolář, Peter W. Michor, Jan Slovák. Natural operations in differential geometry. — 1-е изд. — Springer, 1993. — 434 с. — ISBN 978-3540562351.

См. также[править | править вики-текст]