Производная Дини

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В анализе функций действительных переменных производные Дини это одно из обобщений понятия производной.

Верхняя производная Дини непрерывной функции

f:{\mathbb R} \rightarrow {\mathbb R},

обозначается через f'_+\, и определяется как

f'_+(t) \triangleq \varlimsup_{h \to {0+}} \frac{f(t + h) - f(t)}{h}

где \varlimsup есть верхний частичный предел.

Нижняя производная Дини, f'_-,\, определяется как

f'_-(t) \triangleq \varliminf_{h \to {0+}} \frac{f(t + h) - f(t)}{h}

где \varliminf есть нижний частичный предел.

Если f определена на векторном пространстве, тогда верхняя производная Дини в точке t по направлению d определяется как

f'_+ (t,d) \triangleq \varlimsup_{h \to {0+}} \frac{f(t + hd) - f(t)}{h}.

Если f локально липшицева (то есть у каждой точки существует окрестность, ограничение f на которую — липшицева функция), то f'_+\, конечна. Если f is дифференцируема в точке t, тогда производная Дини в этой точке совпадает с обычной производной в t.

Примечания[править | править исходный текст]

  • Иногда используют обозначение D^+ f(t)\, вместо f'_+(t),\, и D_+f(t)\, используется вместо f'_-(t).\,
  • Также используют обозначения
D^-f(t) \triangleq \varlimsup_{h \to {0-}} \frac{f(t + h) - f(t)}{h}
и
D_-f(t) \triangleq \varliminf_{h \to {0-}} \frac{f(t + h) - f(t)}{h}


Литература[править | править исходный текст]