Последовательность де Брёйна

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Последовательность де Брёйна[1] — последовательность a_1,\;\ldots,\;a_t, элементы которой принадлежат заданному конечному множеству (обычно рассматривают множество \{0,\;1,\;\ldots,\;k-1\}), и все подпоследовательности a_{i+1},\;\ldots,\;a_{i+n} заданной длины n различны.

Часто рассматриваются периодические последовательности с периодом T, содержащие T различных подпоследовательностей a_{i+1},\;\ldots,\;a_{i+n}, — то есть такие периодические последовательности, в которых любой отрезок длины T+n-1 является последовательностью де Брёйна с теми же параметрами n и k.

Циклы де Брёйна названы по имени голландского математика Николаса де Брёйна, который рассматривал их в 1946 году[2], хотя они изучались и ранее[3].

Свойства[править | править вики-текст]

Очевидно, что длина (период) такого цикла не может превосходить k^n – числа всех различных векторов длины n с элементами из \{0,\;1,\;\ldots,\;k-1\}; несложно доказать, что эта оценка достигается. Циклы этой максимально возможной длины обычно называют циклами де Брёйна (впрочем, иногда этот термин применяют и к циклам меньшей длины).

При k=2 существуют такие циклы де Брёйна с длиной, на единицу меньшей максимума, которые выражаются линейными рекуррентными соотношениями порядка n: так, при n=3 соотношение x_n=x_{n-2}+x_{n-3}\pmod 2 порождает последовательности с периодом 7, например 0010111001011100… (цикл де Брёйна 0010111). На основе таких последовательностей построен, в частности, циклический избыточный код CRC32 (EDB88320).


Примеры[править | править вики-текст]

Примеры циклов де Брёйна для k=2 с периодом 2, 4, 8, 16:

  • 01 (содержит подпоследовательности 0 и 1)
  • 0011 (содержит подпоследовательности 00, 01, 11, 10)
  • 00010111 (000, 001, 010, 101, 011, 111, 110, 100)
  • 0000100110101111


Количество циклов де Брёйна[править | править вики-текст]

Количество циклов де Брёйна с параметрами n и k есть k!^{k^{(n - 1)}}/k^n (частный случай теоремы де Брёйна — BEST-теорема (англ.), названная по фамилиям де Брёйна, Татьяны Эренфест (англ.), Седрика Смита (англ.) и Уильяма Татта (англ.)).

Граф де Брёйна[править | править вики-текст]

Существует удобная интерпретация последовательностей и циклов де Брёйна, основанная на так называемом графе де Брёйна — ориентированном графе с k^n вершинами, соответствующими k^n различных наборов длины n с элементами из \{0,\;1,\;\ldots,\;k-1\}, в котором из вершины (x_1,\;\ldots,\;x_n) в вершину (y_1,\;\ldots,\;y_n) ребро ведёт в том и только том случае, когда x_i=y_{i-1} (i=2,\;\ldots,\;n); при этом самому ребру можно сопоставить набор длины n+1: (x_1,\;\ldots,\;x_n,\;y_n)=(x_1,\;y_1,\;\ldots,\;y_n). Для такого графа не проходящие дважды через одно и то же ребро эйлеровы пути (эйлеровы циклы) соответствуют последовательности (циклу) де Брёйна с параметрами n+1 и k, а не проходящие дважды через одну и ту же вершину гамильтоновы пути (гамильтоновы циклы) — последовательности (циклу) де Брёйна с параметрами n и k.

Граф де Брёйна широко применяется в биоинформатике в задачах сборки генома.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Встречаются также написания «де Бройна» и «де Брюина».
  2. de Bruijn N. G. A combinatorial problem // Koninklijke Nederlandse Akademie v. Wetenschappen. 1946. — v. 49. — pp. 758—764.
  3. Flye Sainte-Marie C. Question 48 // L’intermédiaire math. — 1894. — v. 1. — pp. 107—110.