Условная сходимость

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ряд \sum_{n=0}^\infty a_n называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится. То есть, если \lim_{m\to\infty}\sum_{n=0}^ma_n существует (и не бесконечен), но \sum_{n=0}^\infty |a_n| = \infty.

Примеры[править | править исходный текст]

Простейшие примеры условно сходящихся рядов дают убывающие по абсолютной величине знакочередующиеся ряды. Например, ряд

 \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \tfrac{(-1)^{n+1}}n = \ln 2

сходится лишь условно, так как ряд из его абсолютных величин — гармонический ряд — расходится.

Свойства[править | править исходный текст]

  • Если ряд условно сходится, то ряды, составленные из его положительных и отрицательных членов, расходятся.
  • Путём изменения порядка членов условно сходящегося ряда можно получить ряд, сходящийся к любой наперёд заданной сумме или же расходящийся (теорема Римана).
  • При почленном умножении двух условно сходящихся рядов может получиться расходящийся ряд.

Вариации и обобщения[править | править исходный текст]

См. также[править | править исходный текст]