Мультисекция ряда

Мультисекцией ряда называется ряд, составленный из членов исходного ряда, индексы которых образуют арифметическую прогрессию.

Для ряда:

$\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n\cdot x^n$

мультисекцией является всякий ряд вида:

$\sum_{m=-\infty}^{\infty} a_{cm+d}\cdot x^{cm+d},$

где c, d — целые числа, 0 ⩽ d < c.

Мультисекция аналитических функций

Для мультисекции ряда аналитической функции

$F(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n\cdot x^n$

справедлива формула:

$\sum_{m=-\infty}^{\infty} a_{cm+d}\cdot x^{cm+d} = \frac{1}{c}\cdot \sum_{k=0}^{c-1} w^{-kd}\cdot F(w^k\cdot x),$

где $w = e^{\frac{2\pi i}{c}}$ — первообразный корень степени c из единицы.

Пример

Мультисекцией бинома Ньютона

$(1+x)^q = {q\choose 0} x^0 + {q\choose 1} x + {q\choose 2} x^2 + \dots$

при x = 1 является следующее тождество для суммы биномиальных коэффициентов с шагом c:

${q\choose d} + {q\choose d+c} + {q\choose d+2c} + \dots = \frac{1}{c}\cdot \sum_{k=0}^{c-1} \left( 2\cos\frac{\pi k}{c}\right )^q\cdot \cos \frac{\pi(q-2d)k}{c}.$

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Series Multisection (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Somos, M. A Multisection of q-Series, 2006.
• Дж. Риордан §4.3 Мультисекция рядов // Комбинаторные тождества = Combinatorial Identities. — М.: Наука, 1982. — С. 132—141.