Мультисекция ряда

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Мультисекцией ряда называется ряд, составленный из членов исходного ряда, индексы которых образуют арифметическую прогрессию.

Для ряда:

\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n\cdot x^n

мультисекцией является всякий ряд вида:

\sum_{m=-\infty}^{\infty} a_{cm+d}\cdot x^{cm+d},

где c, d — целые числа, 0 ⩽ d < c.

Мультисекция аналитических функций[править | править вики-текст]

Для мультисекции ряда аналитической функции

F(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n\cdot x^n

справедлива формула:

\sum_{m=-\infty}^{\infty} a_{cm+d}\cdot x^{cm+d} = \frac{1}{c}\cdot \sum_{k=0}^{c-1} w^{-kd}\cdot F(w^k\cdot x),

где w = e^{\frac{2\pi i}{c}}первообразный корень степени c из единицы.

Пример[править | править вики-текст]

Мультисекцией бинома Ньютона

(1+x)^q = {q\choose 0} x^0 + {q\choose 1} x + {q\choose 2} x^2 + \dots

при x = 1 является следующее тождество для суммы биномиальных коэффициентов с шагом c:

{q\choose d} + {q\choose d+c} + {q\choose d+2c} + \dots = \frac{1}{c}\cdot \sum_{k=0}^{c-1} \left( 2\cos\frac{\pi k}{c}\right )^q\cdot \cos \frac{\pi(q-2d)k}{c}.

Ссылки[править | править вики-текст]

  • Weisstein, Eric W. Series Multisection (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • Somos, M. A Multisection of q-Series, 2006.
  • Дж. Риордан §4.3 Мультисекция рядов // Комбинаторные тождества = Combinatorial Identities. — М.: Наука, 1982. — С. 132—141.