Мультисекция ряда

Мультисекцией ряда называется ряд, составленный из членов исходного ряда, индексы которых образуют арифметическую прогрессию.

Для ряда:

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}\cdot x^{n}$

мультисекцией является всякий ряд вида:

$\sum _{m=-\infty }^{\infty }a_{sm+d}\cdot x^{sm+d},$

где s, d — целые числа, 0 ⩽ d < s.

Мультисекция аналитических функций

Для мультисекции ряда аналитической функции

$F(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}\cdot x^{n}$

справедлива формула:

$\sum _{m=-\infty }^{\infty }a_{sm+d}\cdot x^{sm+d}={\frac {1}{s}}\cdot \sum _{k=0}^{s-1}w^{-kd}\cdot F(w^{k}\cdot x),$

где $w=e^{\frac {2\pi i}{s}}$ — первообразный корень степени s из единицы.

Пример

Мультисекцией бинома Ньютона

$(1+x)^{q}={q \choose 0}x^{0}+{q \choose 1}x+{q \choose 2}x^{2}+\dots$

при x = 1 является следующее тождество для суммы биномиальных коэффициентов с шагом s:

${q \choose d}+{q \choose d+s}+{q \choose d+2s}+\dots ={\frac {1}{s}}\cdot \sum _{k=0}^{s-1}\left(2\cos {\frac {\pi k}{s}}\right)^{q}\cdot \cos {\frac {\pi (q-2d)k}{s}}.$

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Series Multisection (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Somos, M. A Multisection of q-Series, 2006.
• Дж. Риордан. §4.3 Мультисекция рядов // Комбинаторные тождества = Combinatorial Identities. — М.: Наука, 1982. — С. 132—141.
• Ефремов Д. Решение задачи на премию № 3 // В.О.Ф.Э.М.. — 1911. — № 530. — С. 40—48.