Ряд Неймана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ряд Неймана — это ряд элементов вида:

 \sum_{n=0}^{\infty} T^n,

где T — это, например, некоторый оператор. В этом случае Tn означает суперпозицию из n одинаковых операторов T. Если же T — элемент кольца, то Tn будет означать n-ю степень элемента T.

Ряд Неймана является обобщением понятия суммы геометрической прогрессии.

Основным свойством ряда Неймана является то, что

(I - T)^{-1} = \sum_{n=0}^{\infty}T^n,

где I — единичный элемент. В случае операторов для этого достаточно того, чтобы линейный ограниченный оператор T, действующий в банаховом пространстве X, имел норму либо спектральный радиус, меньший единицы. Так, в случае матриц данный ряд позволяет обратить матрицу вида I-F, где \lambda_{max}(F) < 1 — максимальное собственное значение матрицы F.

В случае кольца с единицей конструкция, аналогичная ряду Неймана, позволяет обращать элементы вида 1 - p, где p — нильпотент. В этом случае ряд Неймана принимает вид конечной суммы

\sum_{n=0}^{m-1} p^n,

где m — индекс нильпотента p.

См. также[править | править викитекст]