Знакочередующийся ряд

Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно принимают значения противоположных знаков, т. е.:

$\sum_{n=1}^\infty b_n = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\,a_n, \; a_n>0$

Признак Лейбница

Признак Лейбница — признак сходимости знакочередующегося ряда, установлен Готфридом Лейбницем. Формулировка теоремы:

Пусть для знакочередующегося ряда $\sum_{n=1}^\infty b_n = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\,a_n, \; a_n>0$ выполняются следующие условия: $a_{n+1} < a_n$ (монотонное убывание {an}) $\lim_{n \to \infty} \, a_n = 0$. Тогда этот ряд сходится.

Замечания:

Если, выполнены все условия, и ряд из модулей ($\sum_{n=1}^\infty a_n$) сходится, то исходный ряд сходится абсолютно. Если выполнены все условия, но ряд из модулей расходится, то исходный ряд сходится условно. Строгая положительность $a_n$ существенна.

Ряды, удовлетворяющие признаку Лейбница, называются рядами Лейбница. Следует отметить, что этот признак является достаточным, но не необходимым.

Пример

$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{1}{n} \;$. Ряд из модулей имеет вид $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ — это гармонический ряд, который расходится.

Теперь воспользуемся признаком Лейбница:

1. знакочередование выполнено $b_n = (-1)^{n+1}\,a_n, \; a_n>0$
2. $\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n} , \;\forall \;n$
3. $\lim_{n \to \infty} \, \frac{1}{n} = 0$.

Следовательно, так как все условия выполнены, но ряд из модулей расходится, искомый ряд сходится условно.

Оценка остатка ряда Лейбница

Из доказательства признака Лейбница следует, что сумма знакопеременного сходящегося ряда меньше по модулю первого члена ряда. Поскольку любой остаток ряда r_n является также рядом Лейбница, то для него справедливо:

$r_n < \left| a_{n+1}\right|$.

Литература

• Иванов Г. Е. Глава 9. Числовые ряды. §3. Ряды со знакопеременными членами // Лекции по математическому анализу. — М.: МФТИ, 2000. — Т. 1. — С. 299—303. — 359 с. — 800 экз. — ISBN 5-7417-0147-7