Знакочередующийся ряд

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно принимают значения противоположных знаков, т. е.:

\sum_{n=1}^\infty b_n = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\,a_n, \; a_n>0

Признак Лейбница[править | править вики-текст]

Признак Лейбница — признак сходимости знакочередующегося ряда, установлен Готфридом Лейбницем. Формулировка теоремы:

Пусть для знакочередующегося ряда

 \sum_{n=1}^\infty b_n = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\,a_n, \; a_n>0

выполняются следующие условия:

  1. a_{n+1} < a_n (монотонное убывание {an})
  2. \lim_{n \to \infty} \, a_n = 0.

Тогда этот ряд сходится.

Замечания:

Если, выполнены все условия, и ряд из модулей ( \sum_{n=1}^\infty a_n) сходится, то исходный ряд сходится абсолютно. Если выполнены все условия, но ряд из модулей расходится, то исходный ряд сходится условно. Строгая положительность a_n существенна.

Ряды, удовлетворяющие признаку Лейбница, называются рядами Лейбница. Следует отметить, что этот признак является достаточным, но не необходимым.

Пример

 \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{1}{n} \;. Ряд из модулей имеет вид  \sum_{n=1}^\infty  \frac{1}{n} — это гармонический ряд, который расходится.

Теперь воспользуемся признаком Лейбница:

  1. знакочередование выполнено b_n = (-1)^{n+1}\,a_n, \; a_n>0
  2. \frac{1}{n+1}<\frac{1}{n} ,  \;\forall \;n
  3. \lim_{n \to \infty} \, \frac{1}{n} = 0.

Следовательно, так как все условия выполнены, но ряд из модулей расходится, искомый ряд сходится условно.

Оценка остатка ряда Лейбница[править | править вики-текст]

Из доказательства признака Лейбница следует, что сумма знакопеременного сходящегося ряда меньше по модулю первого члена ряда. Поскольку любой остаток ряда rn является также рядом Лейбница, то для него справедливо:

 r_n  < \left| a_{n+1}\right|.

Литература[править | править вики-текст]

  • Иванов Г. Е. Глава 9. Числовые ряды. §3. Ряды со знакопеременными членами // Лекции по математическому анализу. — М.: МФТИ, 2000. — Т. 1. — С. 299—303. — 359 с. — 800 экз. — ISBN 5-7417-0147-7.