Представление Гейзенберга

Представление Гейзенберга — один из способов описания квантовомеханических явлений, в котором эволюция системы описывается уравнением Гейзенберга и определяется только развитием операторов во времени, причём вектор состояния от времени не зависит.

Описание представления Гейзенберга

Согласно постулатам квантовой механики каждой физической величине сопоставляется линейный самосопряжённый оператор ${\hat {A}}$, а чистое состояние описывается вектором из гильбертова пространства $|\Psi \rangle$. В представлении Гейзенберга вектор состояния от времени не зависит, а эволюция системы описывается уравнением:

${\frac {d}{dt}}{\hat {A}}_{H}(t)={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {A}}_{H}(t)]+{\frac {\partial {\hat {A}}_{H}}{\partial t}},$

где частная производная означает явную зависимость физической величины от времени.

Связь между операторами в представлении Шрёдингера и Гейзенберга

Пусть ${\hat {A}}(t)$ - оператор в представлении Шрёдингера, а ${\hat {A}}_{H}(t)$ - оператор в представлении Гейзенберга. Тогда переход от одного представления к другому определяется унитарным преобразованием:

${\hat {A}}_{H}(t)={\hat {S}}(t_{0},t){\hat {A}}(t){\hat {S}}(t,t_{0}),$

где ${\hat {S}}(t,t_{0})$ - оператор эволюции:

${\hat {S}}(t,t_{0})=T\left\{\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}H(t')\,dt'}\right)\right\},t>t_{0}$

${\hat {S}}(t,t_{0})={\overline {T}}\left\{\exp \left({{\frac {i}{\hbar }}\int _{t}^{t_{0}}H(t')\,dt'}\right)\right\},t<t_{0}$

где $T,{\overline {T}}$ - операторы упорядочивания и анти-упорядочивания по времени. В частности, если оператор Гамильтона не зависит от времени, то

${\hat {S}}(t,t_{0})=\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t-t_{0})}\right),$

и унитарное преобразование принимает вид:

${\hat {A}}_{H}(t)=e^{i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }{\hat {A}}(t)e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }.$

Переход от представления Шрёдингера к представлению Гейзенберга

Вектор состояния, в представлении Шрёдингера, удовлетворяет уравнению Шрёдингера:

${\hat {H}}(t)\left|\Psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial \over \partial t}\left|\Psi (t)\right\rangle ,$

где ${\hat {H}}(t)$ - оператор Гамильтона.

Введем оператор эволюции ${\hat {S}}(t,t_{0})$, который переводит состояние системы из начального момента времени в любой другой:

${\hat {S}}(t,t_{0})\left|\Psi (t_{0})\right\rangle =\left|\Psi (t)\right\rangle .\qquad (2)$

Подставив формулу (2) в уравнение Шрёдингера получим, что оператор эволюции удовлетворяет уравнению:

$i\hbar {\partial \over \partial t}{\hat {S}}(t,t_{0})={\hat {H}}(t){\hat {S}}(t,t_{0}),\qquad (3)$

${\hat {S}}(t_{0},t_{0})={\hat {I}},$

где ${\hat {I}}$ - единичный оператор. В частности, если гамильтониан не зависит от времени, то оператор эволюции имеет вид:

${\hat {S}}(t,t_{0})=e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }.$

Теперь рассмотрим среднее значение оператора ${\hat {A}}$ некоторой наблюдаемой величины:

$\langle {\hat {A}}(t)\rangle =\langle \Psi (t)|{\hat {A}}(t)|\Psi (t)\rangle =\langle \Psi (t_{0})|{\hat {S}}(t_{0},t){\hat {A}}(t){\hat {S}}(t,t_{0})|\Psi (t_{0})\rangle =\langle \Psi (t_{0})|{\hat {A}}_{H}(t)|\Psi (t_{0})\rangle .$

Таким образом, оператор ${\hat {A}}$ в представлении Гейзенберга определяется формулой:

${\hat {A}}_{H}(t)={\hat {S}}(t_{0},t){\hat {A}}(t){\hat {S}}(t,t_{0}).\qquad (4)$

В частности, если гамильтониан не зависит от времени, то

${\hat {A}}_{H}(t)=e^{i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }{\hat {A}}(t)e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }.$

Продифференцируем формулу $(4)$ по времени и используем уравнение $(3)$, тогда получим уравнение движения операторa ${\hat {A}}(t)$ в Гейзенберговском представлении:

${d \over dt}{\hat {A}}_{H}(t)={i \over \hbar }[{\hat {H}}(t),{\hat {A}}_{H}(t)]+{\partial \over \partial t}{\hat {A}}_{H}(t),\qquad (5)$

где частная производная обозначает явную зависимость оператора ${\hat {A}}(t)$ от времени.

Пример. Квантовый гармонический осциллятор.

Оператор Гамильтона квантового гармонического осциллятора в представлении операторов рождения и уничтожения имеет вид:

${\hat {H}}=\hbar \omega ({\hat {a}}_{H}^{\dagger }{\hat {a}}_{H}+1/2).$

Так как операторы рождения и уничтожения не зависят от времени в представлении Шрёдингера, то уравнение $(5)$ перепишется в виде

$i\hbar {d \over dt}{\hat {a}}_{H}(t)=-\hbar \omega [{\hat {a}}_{H}^{\dagger }{\hat {a}}_{H}+1/2,{\hat {a}}_{H}(t)],$

$i\hbar {d \over dt}{\hat {a}}_{H}(t)=\hbar \omega {\hat {a}}_{H}(t),$

${\hat {a}}_{H}(t)={\hat {a}}e^{-i\omega (t-t_{0})},$

${\hat {a}}_{H}^{\dagger }(t)={\hat {a}}^{\dagger }e^{i\omega (t-t_{0})},$

где были использованы (анти)коммутационные соотношения для операторов уничтожения и рождения $[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]_{\mp }=1.$

Применение

Представление Гейзенберга используется в релятивистской теории, а также в задачах статистической физики.

См. также

• Квантовая механика
• Представление Шрёдингера
• Представление взаимодействия
• Уравнение Шрёдингера
• Волновая функция
• Оператор (физика)

Литература

• Параграф 6. Представление Шредингера и Гейзенберга // Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Квантовые поля. — М.: Наука, 1980. — С. 55-56.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 6-е, исправленное. — М.: Физматлит, 2004. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0530-2. Параграф 13. Гейзенберговское представление операторов.
• Параграф 10. Представление Гейзенберга. Глава VIII // Мессиа А. Квантовая механика. — М.: Наука, 1978. — С. 306-307.
• Параграф 3.4. Гейзенберговская картина // Садбери А. Квантовая механика и физика элементарных частиц. — М.: Мир, 1989. — С. 154-155.
• Сербо В. Г., Хриплович И. Б. Квантовая механика: Учебное пособие. — Новосибирск: Изд-во Новосибирского государственного университета, 2008. — 274 c. — ISBN 978-5-94356-642-4

Ссылки

• Гейзенберга представление — статья из Физической энциклопедии
• Heisenberg picture (англ.)