Теория де Бройля — Бома

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
 Просмотр этого шаблона  Квантовая механика
\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}
Принцип неопределённости
Введение
Математические основы
См. также: Портал:Физика

Теория де Бройля — Бома, также известная как теория  волны-пилота, механика Бома, интерпретация Бома и причинная интерпретация, это интерпретация квантовой теории. В дополнение к волновой функции  на пространстве всех возможных конфигураций, она также постулирует реальную конфигурацию, которая существует даже тогда, когда она не измеряется. Эволюция во времени конфигурации (то есть позиции всех частиц или конфигурации всех полей) определяется волновой функции с помощью управляющего уравнения. Эволюция волновой функции во времени задается уравнением Шредингера. Теория названа в честь Луи де Бройля (1892–1987), и Дэвида Бома (1917–1992).

Теория детерминированая[1] и явно нелокальная: скорость любой частицы зависит от значения управляющего  уравнения, которая зависит от конфигурации системы, заданной ее волновой функцией; последняя зависит от граничных условий системы, которая в принципе может быть всей вселенной.

Из теории проистекает формализм для измерений, аналогичного термодинамике для классической механики, который дает стандартный квантовый формализм обычно ассоциирующийся с Копенгагенской интерпретацией. Явная нелокальность теории устраняет "проблему измерения", которая обычно относится к теме интерпретации квантовой механики в копенгагенской интерпретации. Правило Борна в теории де Бройля — Бома теория не является основным законом. Правильнее сказать, что в этой теории связь между плотностью вероятности и волновой функцией имеет статус гипотезы, называемой гипотезой квантового равновесия, которая дополняет основные законы управляющие волновой функцией.

Исторически теория была развита де Бройлем в 1920-х годах, которого в 1927 году уговорили от неё отказаться в пользу тогдашней господствующей копенгагенской интерпретации. Дэвид Бом, недовольный преобладающей ортодоксальной теорией, вновь открыл теорию волны-пилота де Бройля в 1952 году. Предложения Бома не были широко приняты тогда отчасти по причинам не имеющим отношения к её содержанию, связанные с тем, что в молодости Бом был коммунистом.[2] Теория де Бройля — Бома была широко признана недопустимой господствующими теоретики, в основном из-за её явной нелокальности. Теорема Белла (1964) был вдохновлена обнаружением Беллом работы Дэвида Бома и его последующим поиском способа устранения очевидной нелокальности теории. С 1990-х годов возрождается интерес к разработке расширений теории де Бройля — Бома, пытающиеся примирить её со специальной теорией относительности и квантовой теорией поля, помимо других особеностей, таких как спин или искривлённая пространственная геометрии. [3]

В Стэнфордской Энциклопедии философии в статье по квантовой декогеренции (Гвидо Bacciagaluppi, 2012) "подходы к квантовой механике" собраны в пяти группах, из которых одна теория это теория "волны-пилота (другими являются копенгагенская интерпретация, объективная редукция, многомировая интерпретация и модальная интерпретация).

Существует несколько эквивалентных математических формулировок теории и известно несколько названий. Волна де Бройля имеет макроскопический аналог известный под термином волна Фарадея.[4]

Обзор[править | править вики-текст]

Теория де Бройля — Бома базируется на следующих постулатах:

  • Есть конфигурация q Вселенной, описанной координатами q^k, которая представляет собой элемент конфигурационного пространства Q. Конфигурационные пространства различаются для разных версий теории волны-пилота. Например, это может быть пространство координат \mathbf{Q}_k для N частиц, или, в случае теории поля, пространство полевых конфигураций \phi(x). Конфигурация эволюционирует (для спина 0) в соответствии с управляющим уравнение
m_k\frac{d q^k}{dt} (t) = \hbar \nabla_k \operatorname{Im} \ln \psi(q,t) = \hbar \operatorname{Im}\left(\frac{\nabla_k \psi}{\psi} \right) (q, t) = \frac{m_k \bold{j}_k}{\psi^*\psi} = \mathrm{Re}\left ( \frac{\bold{\hat{P}}_k\Psi}{\Psi} \right ) .

Где \bold{j} — это ток вероятности или поток вероятности и \bold{\hat{P}} — оператор импульса. Здесь, \psi(q,t) это стандартная комплекснозначная волновая функция известная из квантовой теории, которая эволюционирует согласно уравнению Шредингера

i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(q,t)=-\sum_{i=1}^{N}\frac{\hbar^2}{2m_i}\nabla_i^2\psi(q,t) + V(q)\psi(q,t)

Эти постлаты завершают формулировку теории для любой квантовой теории с гамильтонианом типа H=\sum \frac{1}{2m_i}\hat{p}_i^2 + V(\hat{q}).

  • Конфигурация распределяется в соответствии с |\psi(q,t)|^2 в момент времени t, и, следовательно, это справедливо для всех времен. Такое состояние называется квантовым равновесием. При квантовом равновесии, эта теория согласуется с результатами стандартной квантовой механики.

В частности, даже если это последнее соотношение нередко представляется как аксиома теории, в оригинальной статье Бома от 1952 года оно было представлено как вывод из статистико-механических аргументов. Этот довод подкрепляется работой Бома от 1953 года и была подтверждена работой Бома и Вижье 1954 года, в котором они ввели стохастические колебания жидкости, которые управляют процессом асимптотической релаксации из неравновесного квантового состоянияй в состояние квантового равновесия (ρ → |ψ|2).[5]

Эксперимент с двумя щелями[править | править вики-текст]

Бомовские траектории для электрона, прошедшего через две щели. Аналогичная картина была также экстраполирована из слабых измерений одиночных фотонов.[6]

Эксперимент с двумя щелями иллюстрирует корпускулярно-волновой дуализм. В нём, пучок частиц (например, электронов) проходит через барьер, который имеет две щели. Если поставить экран детектора за барьером, картина обнаруженных частиц показывает интерференционные полосы, характерные для волн, приходящих на экран от двух источников (две щели). Тем не менее, интерференционная картина состоит из отдельных точек, соответствующим частицам, которые попали на экран. Система, кажется, демонстрируют поведение как волн (интерференционные полосы) так и частиц (точки на экране).

Если мы изменим этот эксперимент так, что одна щель окажется закрытой, никакой интерференционной картины не наблюдается. Таким образом, состояние обоих щелей влияет на окончательный результат. Мы можем также расположить малоинвазивный детектор около одной из щелеё, чтобы обнаружить через какую щель прошла частица. Когда мы это сделаем, то интерференционная картина исчезнет.

Копенгагенская интерпретация утверждает, что частицы не локализованы в пространстве, пока они не будут детектированы, так что, если нет никакого детекторв на щелях, отсутствует информация о том, через какие щели прошла частица. Если одна из щелей оборудована детектором, то волновая функция мгновенно изменется из-за детектирования.

В теории де Бройля — Бома, волновая функция определяется для обеих щелей, но каждая частица имеет четко определенную траекторию, которая проходит точно через одну из щелей. Итоговое положение частицы на детекторном экране и щель, через которую она проходит определяется начальным положением частицы. Такое исходное положение непознаваемо или неуправляемо со стороны экспериментатора, так что есть видимость случайности в закономерности детектирования. В работе Бома от 1952 года он использовал волновую функцию чтобы построить квантовый потенциал, который если подставить в уравнения Ньютона, даёт траектории частиц, проходящие сквозь две щели. В итоге волновая функция интерферирует сама с собой и направляет частицы через квантовый потенциал таким образом, что частицы избегают областей, в которых интерференция деструктивна и притягиваются в регионы, в которых интерференция конструктивна, в результате чего появляется интерференционная картина на экране детектора.

Теория[править | править вики-текст]

Онтология[править | править вики-текст]

Онтология теории де Бройля — Бома состоит из конфигурации q(t)\in Q Вселенной и волны-пилота \psi(q,t)\in\mathbb{C}. Конфигурационное пространство Q можно выбрать по-разному, как в классической механике и стандартной квантовой механике.

Таким образом, онтология теории волны-пилота содержит в качестве траектории q(t)\in Q, которые мы знаем из классической механики, как волновую функцию \psi(q,t)\in\mathbb{C} из квантовой теории. Итак, в каждый момент времени существует не только волновая функция, но и четко определенная конфигурация всей Вселенной (то есть система каторая определяется из граничных условий, используемых при решении уравнения Шредингера). Соответствие нашему опыту сделано по идентификации конфигурации нашего мозга с некоторой частью конфигурации всей Вселенной q(t)\in Q, как в классической механике.

В то время как онтология классической механики является частью онтологии теории де Бройля — Бома, динамики очень разные. В классической механике ускорение частицы вызывается непосредственно силами, которые существуют в физическом трехмерном пространстве. В теории де Бройля — Бома, скорости частиц даются волновой функцией, которая существует в 3N-мерном конфигурационном пространстве, где N соответствует количеству частиц в системе.[7] Бом предположил, что каждая частица имеет "сложную и тонкую внутреннюю структуру", которая обеспечивает способность реагировать на информацию, которую предоставляет волновая функция через квантовый потенциал.[8] Также, в отличие от классической механики, физические свойства (например, масса, заряд) распространены в соответствии с волновой функцией в теории де Бройля — Бома, а не локализованны в положении частицы.[9][10]

Волновая функция, а не частицы, определяет динамическую эволюцию системы: частицы не действуют на волновую функцию. По формулировке Бома и Хили "уравнение Шредингера для квантового поля не имеют ни источников, ни любоог другого способа, по которому поля могут непосредственно повлиять на состояние частицы [...] квантовой теории могут быть поняты в терминах предположение о том, что квантовое поле не имеет источников или других форм зависимости на частицы."[11] П. Холланд считает это отсутствием взаимного воздействия частиц и волновой функции должен быть один "[с]реди многих неклассических свойств, проявляемых этой теории".[12] вместе с тем следует отметить, что Голландия уже позже назвал это просто очевидное отсутствие обратная реакция, из-за неполноты описания.[13]

В том, что следует ниже, мы дадим основы теории для одной частицы, движущейся в \mathbb{R}^3 и потом распространим её на случай N частиц, движущихся в 3-х измерениях. В первую очередь, конфигурационное и реальное пространства совпадают, а во втором, реальное пространство по-прежнему \mathbb{R}^3, но конфигурационное пространство становится \mathbb{R}^{3N}. В то время как положение частицы сами по себе в реальном пространстве, поля скорости и волновая функция определены на конфигурационном пространстве, что показывает, как частицы запутываются друг с другом в рамках этой теории.

Расширения этой теории включают спин и более сложные конфигурационные пространства.

Мы используем вариации \mathbf{Q} для координат частиц в то время как \psi представляется комплекснозначной волновой функцией заданной на конфигурационном пространстве.

Управляющее уравнение[править | править вики-текст]

Для одной бесспиновой частицы, движущейся в \mathbb{R}^3скорость задается в виде

\frac{d \mathbf{Q}}{dt} (t) = \frac{\hbar}{m} \operatorname{Im} \left(\frac{\nabla \psi}{\psi} \right) (\mathbf{Q}, t).

Для многих частиц, мы обозначаем их как \mathbf{Q}_k для kй частицы и их скорости задаются в виде

\frac{d \mathbf{Q}_k}{dt} (t) = \frac{\hbar}{m_k} \operatorname{Im} \left(\frac{\nabla_k \psi}{\psi} \right) (\mathbf{Q}_1, \mathbf{Q}_2, \ldots, \mathbf{Q}_N, t).

Главное здесь то, что это поле скоростей зависит от фактического положения всех N частиц во Вселенной. Как поясняется ниже, в большинстве экспериментальных ситуаций, влияния всех этих частиц могут быть инкапсулированы в эффективной волновой функции для подсистемы Вселенной.

Уравнение Шредингера[править | править вики-текст]

Одночастичное уравнение Шредингера определяет эволюцию во времени комплекснозначной волновой функции на \mathbb{R}^3. Уравнение представляет собой квантованную версию полной энергии классической системы которая эволюционирует под действием вещественной потенциальной функции V заданной на \mathbb{R}^3:

i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi + V\psi

Для многих частиц, уравнение такое же, за исключением того, что \psi и V заданы на конфигурационном пространстве, \mathbb{R}^{3N}.

i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi=-\sum_{k=1}^{N}\frac{\hbar^2}{2m_k}\nabla_k^2\psi + V\psi

Это та же волновая функция из обычной квантовой механики.

Отношение к правилу Борна[править | править вики-текст]

Бом в оригинальных работах [Бома 1952] рассматривает как из теории де Бройлям — Бома следуют результаты измерений обычной квантовой механики. Основная идея заключается в том, что это выполняется при условии, что положения частиц удовлетворяют статистическому распределению заданным |\psi|^2. И, это распределение гарантированно будет верно для всех времен благодаря управляющему уравнению, если начальное распределение частиц удовлетворяет |\psi|^2.

Для данного эксперимента, мы можем предположить, что это утверждение верно и проверьте экспериментально, что оно действительно справедливо. Но, это утверждение оспаривает Дюр и соавт.,[14] кто-то должен утверждать, что такое распределение характерно для подсистем. Они утверждают, что |\psi|^2 в силу своей эквивариантности под действием динамической эволюции системы, является подходящей мерой обычно для начальных условий координат частиц. Они потом доказывают, что подавляющее большинство возможных начальных конфигураций приведет к возникновению статистики удовлетворяющих правилу Бора (т. е. |\psi|^2) для результатов измерений. В итоге, во Вселенной под управлением динамики де Бройля — Бома, правило Бора обычно выполняется.

Ситуация, таким образом, аналогична ситуации в классической статистической физике. Начальное состояние с низкой энтропией, с подавляюще высокой вероятностью, эволюционирует в состояние с более высокой энтропией: типичное поведение, которое согласуется со вторым законом термодинамики. Есть, конечно, аномальные начальных условий, которые могли бы повлечь нарушение второго закона. Однако в отсутствие подробных доказательств, подтверждающих фактическое осуществление одного из тех редких начальных условий, было бы совсем неразумно ожидать чего угодно, кроме на самом деле наблюдаемого равномерноо увеличения энтропии. Аналогично, в теории де Бройля — Бома, существуют аномальные начальные условия, которые привеи ьы к нарушению правила Бора (т. е., в противоречие с предсказаниями стандартной квантовой теории). Но обычно теорема показывает, что, при отсутствии особых причин полагать, что одно из этих специальных начальных условиях реализуется, выполнение правила Бора это то, что следует ожидать.

Правило Бора в теории де Бройля – Бома, является теоремой, а не (как в обычной квантовой теории) дополнительным постулатом.

Можно показать, что распределение частиц, не распределенных в соответствии с правилом Бора (то есть распределения "не из квантового равновесия") и жволючионируещее в динамике де Бройля - Бома в подавляющем большинстве случаев будет развиваться в состояние распределенное как |\psi|^2.[15] Видео электронной плотности в 2D ящике под действием этого процесса доступно здесь.

Условная волновая функция подсистемы[править | править вики-текст]

В формулировке теории де Бройля - Бома, есть только волновая функция всей Вселенной (которая всегда эволючионирует в соответствии с уравнением Шредингера). Вместе с тем следует отметить, что "Вселенная" - это просто система ограниченная теми же граничными условиями используемыми для решения уравнения Шредингера. Однако, как только теория сформулирована, удобно ввести понятие волновой функции также для подсистем Вселенной. Давайте писать волновую функцию Вселенной, как \psi(t,q^{\mathrm I},q^{\mathrm{II}}), где q^{\mathrm I} обозначает конфигурацию переменных, связанных с некоторой подсистемой (I) Вселенной и q^{\mathrm{II}} обозначает остальные переменные конфигурации. Обозначим, соответственно, Q^{\mathrm I}(t) и Q^{\mathrm{II}}(t) фактическую конфигурацию подсистемы (I) и остальной Вселенной. Для простоты мы рассмотрим здесь только случай бесспиновыми частицами. Условная волновая функция подсистемы (I) определяется по формуле:

\psi^{\mathrm I}(t,q^{\mathrm I})=\psi(t,q^{\mathrm I},Q^{\mathrm{II}}(t)). \,

Это немедленно следует из того факта, что Q(t)=(Q^{\mathrm I}(t),Q^{\mathrm{II}}(t)) удовлетворяет управляющему уравнению, которому также удовлетворяет конфигурация Q^{\mathrm I}(t), идентичному тому которое представлено в формулировке теории, с универсальной волновой функцией \psi замененной на условную волновую функцию \psi^{\mathrm I}. Кроме того, тот факт, что Q(t) является случайной с плотностью вероятности , заданной квадратом модуля \psi(t,\cdot) предполагает, что условные плотности вероятности Q^{\mathrm I}(t) данной Q^{\mathrm{II}}(t) дается квадратом модуля вектора (нормированного) условной волновой функции \psi^{\mathrm I}(t,\cdot) (в терминологии Дюра и соавт.[16] этот факт называется фундаментальной фомулой условной вероятности).

В отличие от универсальной волновой функции, условная волновая функция подсистемы не всегда эволюионирует в соответствии с уравнением Шредингера, но во многих ситуациях это делает. Например, если универсальная волновая функция разлагается в произведение как:

\psi(t,q^{\mathrm I},q^{\mathrm{II}})=\psi^{\mathrm I}(t,q^{\mathrm I})\psi^{\mathrm{II}}(t,q^{\mathrm{II}}) \,

тогда условная волновая функция подсистемы (I) с точностью до неактуального скалярного множителя равна \psi^{\mathrm I} (это то, что стандартная квантовая теория будет рассматривать как волновую функцию подсистемы (I)). Если, кроме того, Гамильтониан не содержит взаимодействия между подсистемами (I) и (II) значит \psi^{\mathrm I}  удовлетворяет уравнению Шредингера. Более общо, предположим, что универсальная волновая функция \psi записана в виде:

\psi(t,q^{\mathrm I},q^{\mathrm{II}})=\psi^{\mathrm I}(t,q^{\mathrm I})\psi^{\mathrm{II}}(t,q^{\mathrm{II}})+\phi(t,q^{\mathrm I},q^{\mathrm{II}}), \,

где \phi решает уравнение Шредингера и \phi(t,q^{\mathrm I},Q^{\mathrm{II}}(t))=0 для всех t и q^{\mathrm I}. Потом, опять же, условная волновая функция подсистемы (I) с точностью до неактуального скалярного множителя равна \psi^{\mathrm I} и если Гамильтониан не содержит взаимодействия между подсистемами (I) и (II), \psi^{\mathrm I} удовлетворяет уравнению Шредингера.

Тот факт, что условная волновая функция подсистемы не всегда эволюционирует в соответствии с уравнением Шредингера связан с тем, что обычный правило редукции из стандартной квантовой теории возникает из Бомовского формализма при рассмотрении условных волновых функций подсистем.

Notes[править | править вики-текст]

  1. Bohm, David (1952).
  2. F. David Peat, Infinite Potential: The Life and Times of David Bohm (1997), p. 133.
  3. David Bohm and Basil J. Hiley, The Undivided Universe - An Ontological Interpretation of Quantum Theory appreared after Bohm's death, in 1993; reviewed by Sheldon Goldstein in Physics Today (1994).
  4. John W. M. Bush: "Quantum mechanics writ large"
  5. Publications of D. Bohm in 1952 and 1953 and of J.-P. Vigier in 1954 as cited in Antony Valentini; Hans Westman (8 January 2005).
  6. "Observing the Average Trajectories of Single Photons in a Two-Slit Interferometer"
  7. David Bohm (1957).
  8. D. Bohm and B. Hiley: The undivided universe: An ontological interpretation of quantum theory, p. 37.
  9. H. R. Brown, C. Dewdney and G. Horton: "Bohm particles and their detection in the light of neutron interferometry", Foundations of Physics, 1995, Volume 25, Number 2, pp. 329–347.
  10. J. Anandan, "The Quantum Measurement Problem and the Possible Role of the Gravitational Field", Foundations of Physics, March 1999, Volume 29, Issue 3, pp. 333–348.
  11. D. Bohm and B. Hiley: The undivided universe: An ontological interpretation of quantum theory, p. 24
  12. Peter R. Holland: The Quantum Theory of Motion: An Account of the De Broglie-Bohm Causal Interpretation of Quantum Mechanics, Cambridge University Press, Cambridge (first published 25 June 1993), ISBN 0-521-35404-8 hardback, ISBN 0-521-48543-6 paperback, transferred to digital printing 2004, Chapter I. section (7) "There is no reciprocal action of the particle on the wave", p. 26
  13. P. Holland: "Hamiltonian theory of wave and particle in quantum mechanics II: Hamilton-Jacobi theory and particle back-reaction", Nuovo Cimento B 116, 2001, pp. 1143–1172, full text preprint p. 31)
  14. Dürr, D., Goldstein, S., and Zanghì, N., "Quantum Equilibrium and the Origin of Absolute Uncertainty", Journal of Statistical Physics 67: 843–907, 1992.
  15. Towler, M. D.; Russell, N. J.; Valentini A., pbs., "Timescales for dynamical relaxation to the Born rule" quant-ph/11031589
  16. "Quantum Equilibrium and the Origin of Absolute Uncertainty", D. Dürr, S. Goldstein and N. Zanghì, Journal of Statistical Physics 67, 843–907 (1992).