Уравнение Клейна — Гордона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
 Просмотр этого шаблона  Квантовая механика

Принцип неопределённости
Введение
Математические основы
См. также: Портал:Физика

Уравнение Клейна — Гордона (Уравнение Клейна — Гордона — Фока, более правильное название уравнение Клейна—Фока[1],[2]):

или, кратко, используя вдобавок естественные единицы (где ):

где  — оператор Д’Аламбера.

— является релятивистской версией уравнения Шрёдингера. Используется для описания быстро движущихся частиц, имеющих массу (массу покоя). Строго применимо к описанию скалярных массивных полей (впрочем, пока с определённостью не известных в фундаментальной физике). Может быть обобщено для частиц с целым и полуцелым спинами.[3] Кроме прочего, ясно, что уравнение является обобщением волнового уравнения, подходящего для описания безмассовых скалярных и векторных полей.

Механические системы (реальные или воображаемые), описывающиеся уравнением Клейна — Гордона — Фока, могут быть простыми модификациями систем, описывающихся волновым уравнением, например:

  • в одномерном случае — натянутая тяжёлая нить, лежащая (приклеенная) на упругой (гуковской) подкладке.
  • макроскопически изотропный кристалл, каждый атом которого находится, кроме связи с соседними атомами, ещё и в фиксированной в пространстве квадратичной потенциальной яме.
  • более реалистично, если говорить о реальных кристаллах, рассмотреть моды поперечных колебаний, при которых, например, соседние слои атомов колеблются в противофазе: такие моды (в линейном приближении) будут подчиняться двумерному уравнению Клейна — Гордона — Фока в координатах, лежащих в плоскости слоев.

Уравнение, в котором последний («массовый») член имеет знак, противоположный обычному, описывает в теоретической физике тахион. Такой вариант уравнения также допускает простую механическую реализацию.

Уравнение Клейна — Гордона — Фока для свободной частицы (которое и приведено выше) имеет простое решение в виде синусоидальных плоских волн.

  • Замечание: положив пространственные производные нулю (что в квантовой механике соответствует нулевому импульсу частицы), мы имеем для обычного уравнения Клейна — Гордона — Фока гармонический осциллятор с частотой , что соответствует ненулевой энергии покоя, определяемой массой частицы. Тахионный же вариант уравнения в этом случае неустойчив, а решение его включает в общем случае неограниченно возрастающую экспоненту.

История[править | править вики-текст]

Уравнение Клейна — Гордона первоначально записал Эрвин Шрёдингер до записи нерелятивистского уравнения, которое носит сейчас его имя. Он отказался от него (не опубликовав), потому что не смог включить спин электрона в уравнение. Шрёдингер сделал упрощение уравнения Клейна — Гордона и нашёл «своё» уравнение.

В 1926 году, вскоре после публикации уравнения Шрёдингера, Фок[4][5] написал статью о его обобщении на случай магнитных полей, где силы зависели от скорости и независимо вывел это уравнение. И Клейн[6] (его работа появилась несколько раньше, но вышла из печати уже после того, как статья Фока была принята в журнал), и Фок использовали метод Калуцы — Клейна. Фок также ввёл калибровочную теорию для волнового уравнения.

Статья Гордона (конец 1926) была посвящена эффекту Комптона.[7]

Вывод[править | править вики-текст]

(Здесь использованы естественные единицы где ).

Уравнение Шрёдингера для свободной частицы записывается так:

где  — оператор импульса, оператор же  — будем называть, в отличие от гамильтониана, просто оператором энергии.

Уравнение Шрёдингера не является релятивистски ковариантным, то есть не согласуется со специальной теорией относительности (СТО).

Используем релятивистское дисперсионное (связывающее энергию и импульс) соотношение (из СТО):

Тогда просто подставляя квантовомеханические оператор импульса и оператор энергии [8] — получаем:

что в ковариантной форме запишется так:

где  — оператор Д’Аламбера.

Решение уравнения Клейна — Гордона — Фока для свободной частицы[править | править вики-текст]

Искать решение уравнения Клейна — Гордона — Фока для свободной частицы

можно, как и для любого линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, в виде суперпозиции (то есть любой, конечной или бесконечной линейной комбинации) плоских волн:

подставляя же каждую такую волну в уравнение, получаем условие на и :

Плоская волна, как легко заметить, описывает чистое состояние с определённой энергией и импульсом (то есть является собственной функцией соответствующих операторов). Энергия и импульс (то есть собственные значения этих операторов), исходя из этого, могут быть для неё просто посчитаны, как и в случае нерелятивистской частицы:

Найденное соотношение и тогда (снова) даёт уравнение связи между энергией и импульсом релятивистской частицы с ненулевой массой, известное из классики:

Причём ясно, что соотношение для средних величин будет выполняться не только для состояний с определённой энергией и импульсом, но и для любой их суперпозиции, то есть для любого решения уравнения Клейна — Гордона — Фока (что, в частности, обеспечивает выполнение этого соотношения и в классическом пределе).

Для безмассовых частиц мы можем положить в последнем уравнении. Тогда получим для безмассовых частиц закон дисперсии (он же соотношение энергии и импульса) в виде:

Использовав формулу групповой скорости , нетрудно получить обычные релятивистские формулы связи импульса и энергии со скоростью; в принципе, того же результата можно добиться и просто посчитав коммутатор гамильтониана с координатой, но в случае уравнения Клейна — Гордона — Фока мы сталкиваемся с трудностью выписать гамильтониан в явном виде[9] (очевиден только квадрат гамильтониана).

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Ю. Н. Демков. Развитие теории электронно-атомных столкновений в Ленинградском университете
  2. Л. Д. Фаддеев. Новая жизнь полной интегрируемости // УФН, 2013, май (том 183, № 5), с. 490
  3. см. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей" § 4, 6
  4. Vladimir Fock ; Zeitschrift für Physik 38 (1926) 242
  5. Vladimir Fock ; Zeitschrift für Physik 39 (1926) 226
  6. Klein, O. 1926. Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie. Zeitschrift für Physik 37:895-906.
  7. W.Gordon, «Эффект Комптона в теории Шредингера.», 1926
  8. Можно было бы просто извлечь корень из оператора в скобках в левой части уравнения
    то есть найти таким образом гамильтониан, тогда в правой части осталась бы первая производная по времени, и аналогия с уравнением Шрёдингера была бы ещё более непосредственной и прямой. Однако утверждается, что для случая скалярного (или векторного) поля невозможно проделать это так, чтобы получившийся гамильтониан был локальным. Для случая же биспинорного Дираку удалось получить таким образом локальный (и даже с производными лишь первого порядка) гамильтониан, получив этим самым так называемое уравнение Дирака (все решения которого в пространстве Минковского, кстати, являются и решениями уравнения Клейна — Гордона, но не обратно; а в искривлённом пространстве различие уравнений становится явным).
  9. см. примечание 2.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]