Биекция

Биективная функция.

Биекция — это отображение, которое является одновременно и сюръективным, и инъективным. При биективном отображении каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, при этом определено обратное отображение, которое обладает тем же свойством. Поэтому биективное отображение называют ещё взаимно однозначным отображением (соответствием), одно-однозначным отображением.

Если между двумя множествами можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию), то такие множества называются равномощными. С точки зрения теории множеств, равномощные множества неразличимы.

Взаимно однозначное отображение конечного множества в себя называется перестановкой (или подстановкой) элементов этого множества.

Определение

Функция $f\colon X\to Y$ называется биекцией (и обозначается $f\colon X\leftrightarrow Y$), если она:

1. Переводит разные элементы множества $X$ в разные элементы множества $Y$ (инъективность). Иными словами,
   • $\forall x_{1}\in X,\;\forall x_{2}\in X\;x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})$.
2. Любой элемент из $Y$ имеет свой прообраз (сюръективность). Иными словами,
   • $\forall y\in Y,\;\exists x\in X\;f(x)=y$.

Примеры

• Тождественное отображение $\mathrm {id} \colon X\to X$ на множестве $X$ биективно.
• $f(x)=x,\;f(x)=x^{3}$ — биективные функции из $\mathbb {R}$ в себя. Вообще, любой моном одной переменной нечетной степени является биекцией из $\mathbb {R}$ в себя.
• $f(x)=e^{x}$ — биективная функция из $\mathbb {R}$ в $\mathbb {R} _{+}=(0,\;+\infty )$.
• $f(x)=\sin x$ не является биективной функцией, если считать её определённой на всём $\mathbb {R}$.
• Строго монотонная и непрерывная функция $f(x)$ является биекцией из отрезка $[a,b]$ на отрезок $[f(a),f(b)]$.

Свойства

Композиция инъекции и сюръекции, дающая биекцию.

• Функция $f\colon X\to Y$ является биективной тогда и только тогда, когда существует обратная функция $f^{-1}\colon Y\to X$ такая, что

$\forall x\in X\;f^{-1}(f(x))=x$ и $\forall y\in Y\;f(f^{-1}(y))=y.$

• Если функции $f$ и $g$ биективны, то и композиция функций $g\circ f$ биективна, в этом случае $(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$. Коротко: композиция биекций является биекцией. Обратное, однако, неверно: если $g\circ f$ биективна, то мы можем утверждать лишь, что $f$ инъективна, а $g$ сюръективна.

Применения

В информатике

Организация связи «один к одному» между таблицами реляционной БД на основе первичных ключей.

См. также

• Инъекция (математика)
• Сюръекция
• Отображение
• Гомоморфизм
• Морфизм
• Эндоморфизм
• Автоморфизм
• Мономорфизм
• Эпиморфизм
• Биморфизм
• Изоморфизм
• Синоним
• Подобие
• Аналогия

Литература

• Н. К. Верещагин, А. Шень. Часть 1. Начала теории множеств // Лекции по математической логике и теории алгоритмов. — 2-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2002. — 128 с.
• Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. . Математическая логика: Учебное пособие. — 3-е, стереотип. изд. — СПб.: Лань, 2004. — 336 с.