Многочлен Кауфмана

Многочлен Кауфмана — многочлен узла от двух переменных, предложенный Луисом Кауфманом (англ. Louis Kauffman). Первоначально был определён на диаграмме зацеплений как:

$F(K)(a,z)=a^{-w(K)}L(K)$,

где $w(K)$ — закрученность диаграммы зацепления и $L(K)$ — многочлен, определённый на диаграмме зацепления со следующими свойствами:

• $L(O)=1$ ($O$ — тривиальный узел);
• $L(s_{r})=aL(s),\qquad L(s_{\ell })=a^{-1}L(s)$;
• $L$ не меняется при применении движений Рейдемейстера типа II и III.

Здесь $s$ — нить, а $s_{r}$ (соответственно, $s_{\ell }$) — та же нить с добавлением правого (соответственно, левого) витка (используя движение Рейдемейстера типа I).

Кроме того, $L$ должно удовлетворять скейн-соотношению Кауфмана:

Рисунки представляют многочлен $L$ диаграмм, которые различны внутри окружности, как показано, но идентичны вовне^{[уточнить]}.

Кауфман показал, что $L$ существует и является регулярно-изотопическим инвариантом неориентированных зацеплений, откуда следует, что $F$ является объемлюще-изотопическим инвариантом ориентированных зацеплений.

Многочлен Джонса — специальный вид многочлена Кауфмана, когда $L$ сужается до скобок Кауфмана. Многочлен Кауфмана связан с калибровочной теорией Черна — Саймонса для $\mathrm {SO} (N)$ так же, как многочлен HOMFLY связан с калибровочной теорией Черна — Саймонса для $\mathrm {SU} (N)$.

Литература

• Louis Kauffman. On Knots. — 1987. — ISBN 0-691-08435-1.

Ссылки

• Springer EoM entry for Kauffman polynomial
• The_Kauffman_Polynomial, the Knot Atlas