Проективная двойственность

Основное свойство проективной плоскости — "симметрия" ролей, которые играют точи и прямые в определениях и теоремах, и двойственность является формализацией этой концепции. Имеются два подхода к этой двойственности, один использует язык (см. "принцип двойственности" ниже) и другой, более функциональный подход. Они полностью эквивалентны и оба служат исходной точкой для аксиоматических версий геометрии. В функциональном подходе имеется соответствие между геометриями, которое называется двойственностью. В частных примерах такое соответствие может быть построено многими путями. Концепция двойственности плоскости легко расширяется до двойственности в любой конечномерной проективной геометрии.

Принцип двойственности

Если определить проективную плоскость аксиоматически как структуру инцидентности в терминах множества точек P, множества прямых L и матрицы инцидентности I, которая определяет, какие точки лежат на каких прямых, то можно определить двойственную структуру плоскости.

Если обменять ролями "точки" и "прямые" в

C=(P,L,I)

получим двойственную структуру

C* =(L,P,I*),

где I* — обратное отношение к I. C* является также проективной плоскостью, которая называется дуальной (двойственной) плоскостью для C.

Если C и C* изоморфны, то C называется самодвойственной. Проективные плоскости PG(2,K) для любого поля (или, в более общем случае, для любого кольца с делением, изоморфного двойственному ему) K являются самодвойственными. В частности, дезарговы плоскости конечного порядка всегда самодвойственны. Однако среди недезарговых плоскостей существуют не самодвойственные, например, плоскости Холла, а некоторые самодвойственны, например, плоскости Хьюза.

В проективной плоскости утверждение, касающееся точек, плоскостей, и их инцидентности, полученное из другого такого утверждения путём обмена терминов "точка" и "прямая" (меняя, если нужно, грамматику), называется двойственным утверждением. Двойственным утверждением для "Через две точки проходит единственная прямая" будет "Две прямые пересекаются в одной точке". Образование двойственного утверждения называется дуализацией утверждения.

Если утверждение верно в проективной плоскости C, то двойственное утверждение должно быть верным в дуальной плоскости C*. Это следует из того, что дуализация каждого утверждения в доказательстве "в C" даёт утверждение в доказательстве "в C*".

Принцип двойственности плоскости говорит, что дуализация любой теоремы в самодвойственной проективной плоскости C порождает другую верную теорему в C.

Эта концепция может быть обобщена до двойственности трёхмерного пространства, где понятия "точки" и "плоскости" меняются ролями (а прямые остаются прямыми). Это приводит к Принципу двойственности пространства. Возможны и дальнейшие обобщения (смотрите ниже).

Эти принципы дают хороший повод для употребления "симметричного" термина для отношения инцидентности. Так, вместо предложения "точка лежит на прямой" можно сказать "точка и прямая инцидентны", и для дуализации утверждения достаточно слова точка и прямая переставить местами ("прямая и точка инцидентны").

По определению проективная плоскость представляет собой множество точек и прямых, и проективное преобразование может отображать точки на точки и прямые на прямые. Такое преобразование называется коллинеацией. При рассмотрении двойственности проективной плоскости рассматривается другое отображение, при котором точки переходят в прямые, а прямые – в точки. Такое отображение называется корреляцией. Проективное отображение определяется требованиями:

1) инцидентность точек и прямых

2) двойное отношение

Второе требование использует гармонические четвёрки точек на прямой, образующих проективный ряд точек, концепцию, двойственную пучку прямых в точке.

Двойственные теоремы

Поскольку вещественная проективная плоскость PG(2,R) является самодвойственной, существует ряд хорошо известных утверждений, двойственных друг другу. Среди них:

• Теорема Дезарга ⇔ Обратная теорема Дезарга
• Теорема Паскаля ⇔ Теорема Брианшона
• Теорема Менелая ⇔ Теорема Чевы

Двойственность как отображение

Двойственность (плоскости) — это отображение из проективной плоскости C = (P,L,I) в её дуальную C* = (L,P,I*), сохраняющее свойство инцидентности. Таким образом, двойственность (плоскости) σ отображает точки в прямые и прямые в точки (P^σ = L и L^σ = P) таким образом, что если точка Q лежит на прямой m (обозначается Q I m), то Q^σ I* m^σ ⇔ m^σ I Q^σ. Двойственность (плоскости), являющаяся изоморфизмом, называется корреляцией. Существование корреляции означает самодвойственность проективной плоскости.

В специальном случае, когда проективная плоскость имеет тип PG(2,K), где K — кольцо с делением, двойственность называется взаимным преобразованием. По фундаментальной теореме проективной геометрии взаимное преобразование является композицией автоморфной функции на K и a проективного преобразования. Если используемый автоморфизм является тождественным, то взаимное преобразование называется проективной корреляцией.

Корреляция второго порядка (инволюция) называется поляритетом. Если корреляция не является поляритетом, то φ² будет нетривиальной коллинеацией.

Эта концепция отображения может быть распространена и на пространства более высоких размерностей, так что упоминание плоскости может быть удалено.

Двойственность высоких размерностей

Двойственность проективной плоскости является специальным случаем двойственности для проективных пространств, преобразований PG(n,K) (которые обозначаются также KPⁿ), где K — поле, обменивающих объекты размерности r с объектами размерности n - 1 - r ( = коразмерность r + 1). Таким образом, в проективном пространстве размерности n точки (размерность 0) будут соответствовать гиперплоскостям (коразмерность 1), прямые, проходящие через две точки (размерность 1), будут соответствовать пересечению двух гиперплоскостей (коразмерность 2), и так далее.

Точки PG(n,K) можно рассматривать как ненулевые вектора в (n + 1) –мерном векторном пространстве над K, в котором мы отождествляем два вектора, если они отличаются лишь умножением на скаляр. Другой способ представления как точки n-мерного проективного пространства — как прямые, проходящие через начало координат в K^n + 1, которые являются 1-мерными векторными подпространствами. Итак, n-мерные векторные подпространства поля K^n + 1 представляют (n − 1)-мерные геометрические гиперплоскости проективных n-пространств над K.

Ненулевой вектор u = (u₀,u₁,...,u_n) в K^n + 1 определяет (n - 1) – мерное геометрическое подпространство (гиперплоскость) H_u,

H_u = {(x₀,x₁,...,x_n) : u₀x₀ + … + u_nx_n = 0 }.

Вектор u, используемый для определения гиперплоскости, обозначим u_H, а для обозначения точки, соответствующей концу вектора, будем использовать обозначение u_P. В терминах обычного скалярного произведения, H_u = {x_P : u_H • x_P = 0}. Поскольку K является полем, скалярное произведение симметрично, что означает u_H•x_P = u₀x₀ + u₁x₁ + ... + u_nx_n = x₀u₀ + x₁u₁ + ... + x_nu_n = x_H•u_P. Можно задать взаимное преобразование u_P ↔ H_u между точками и гиперплоскостями. Это соответствие можно распространить на прямые, образованные двумя точками и пересечение двух гиперплоскостей, и так далее.

На проективной плоскости PG(2,K) с полем K мы имеем соответствие: однородные координаты (a,b,c) ↔ прямые, задаваемые уравнениями ax + by + cz = 0. В проективном пространстве PG(3,K) соответствие выглядит как точки в однородных координатах (a,b,c,d) ↔ плоскости, задаваемые уравнениями ax + by + cz + dw = 0. Это соответствие также отображает прямую, задаваемую двумя точками (a₁,b₁,c₁,d₁) и (a₂,b₂,c₂,d₂) в прямую, которая является пересечением двух плоскостей, задаваемых уравнениями a₁x + b₁y + c₁z + d₁w = 0 и a₂x + b₂y + c₂z + d₂w = 0.

Трёхмерное пространство

В полярных отображениях вещественного проективного 3-мерного пространства PG(3,R) точки соответствуют плоскостям, а прямые соответствуют прямым. В стереометрии имеет место двойственность многогранников, когда точки двойственны граням, а рёбра двойственны рёбрам, так что икосаэдр двойственен додекаэдру, а куб двойственен октаэдру.

Геометрическое построение взаимного преобразования

Соответствие в PG(2,R) в однородных координатах может быть описано геометрически. Для этого используется модель вещественной проективной плоскости "единичная сфера с отождествлением антиподов", или, что эквивалентно, модель прямых и плоскостей, проходящих через начало координат пространства R³. Сопоставим прямой, проходящей через начало координат единственной ортогональной плоскости, содержащей начало координат. Если в этой модели прямые считать точками, а плоскости — прямыми проективной плоскости PG(2,R), это сопоставление становится соответствием (а фактически, полярным отображением) проективной плоскости. Сферическую модель можно получить как пересечение прямых и плоскостей, проходящих через начало координат с единичной сферой, имеющей центр в начале координат. Прямые пересекают сферу в двух противоположных точках, которые отождествляются для получения точки проективной плоскости, плоскости же пересекают сферу по большим кругам которые являются прямыми проективной плоскости.

То, что такое сопоставление "сохраняет" инцидентность, легко показать на модели прямых и плоскостей. Точка, инцидентная прямой в проективной плоскости соответствует прямой, лежащей на плоскости в модели. Согласно сопоставлению, плоскость становится прямой, проходящей через начало координат и перпендикулярной плоскости. Этот образ (прямая) перпендикулярна любой прямой, лежащей на плоскости, а в частности и исходной прямой (точки проективной плоскости). Все прямые, перпендикулярные исходной прямой образуют плоскость, которая является ассоциированной плоскостью исходной прямой. Таким образом, образ прямой лежит в образе плоскости, так что инцидентность сохранена.

Полюса и поляры

Основная статья: Полюс и поляра

Полюс и поляра для окружности O. P = Q', q — поляра для Q, Q — полюс для q.

В евклидовом пространстве зафиксируем окружность C с центром O и радиусом r. Для каждой точки P, отличной от O определим образ Q', так что OP • OQ = r². Отображение P → Q называется инверсией относительно окружности C. Прямая q, проходящая через P, перпендикулярная OP называется полярой точки Q по отношению к окружности C.

Пусть q — прямая, не проходящая через O. Опустим перпендикуляр из O на q, который пересекает q в точке P (это ближайшая к O точка прямой q). Образ точки Q (точка P) при инверсии относительно C называется полюсом прямой q. Если точка M лежит на прямой q (не проходящей через O), то полюс прямой q лежит на поляре точки M и наоборот. Процесс, сохраняющий инцидентность, при котором точки и прямые переходят в их поляры и полюсы по отношению к C называется проективным преобразованием.

Чтобы сделать этот процесс взаимным преобразованием, евклидово пространство (не являющееся проективной плоскостью) необходимо расширить до расширенной евклидовой плоскости путём добавления прямой на бесконечности и точек на бесконечности, которые лежат на этой бесконечно удалённой прямой. На этой расширенной плоскости мы определяем поляру точки O как прямую на бесконечности (и O является полюсом на бесконечности), и полюсы прямых, проходящих через O как точки на бесконечности, где, если прямая имеет угловой коэффициент s (≠ 0), её полюс является бесконечно удалённой точкой, соответствующей классу параллельных прямых с наклоном -1/s. Полюс для оси x — это точка на бесконечности вертикальных прямых, а полюс оси y — точка на бесконечности горизонтальных прямых.

Построение полярного преобразования для инверсии относительно окружности, данное выше, можно обобщить с использованием инверсии относительно конических сечений (на расширенной вещественной плоскости). Взаимное преобразование, построенное таким образом, является проективной корреляцией второго порядка, то есть, полярным преобразованием.

Отображение сферы в плоскость

Модель проективной плоскости с единичной сферой изоморфна (принимая во внимание свойство инцидентности) планарной модели, где плоскость расширена проективной прямой на бесконечности. В этой модели противоположные точки сферы (относительно центра) считаются одной точкой.

Чтобы сопоставить точкам сферы точки на плоскости, положим, что сфера касается плоскости в некоторой точке и эту точку мы выберем в качестве начала координат плоскости. Теперь проведём прямую через точку на сфере и центр сферы. Эта прямая пересечёт сферу в некоторой точке. Полученную точку можно использовать для построения взаимно однозначного отображения

$f:[0,\pi /2]\times [0,2\pi ]\rightarrow \mathbb {R} P^{2}.$.

Если точки в $\mathbb {R} P^{2}$ заданы в однородных координатах, то

$f:(\theta ,\phi )\mapsto [\cos \phi :\sin \phi :\cot \theta ],$

$f^{-1}:[x:y:z]\mapsto \left(\arctan {\sqrt {\left({x \over z}\right)^{2}+\left({y \over z}\right)^{2}}},\arctan _{2}(y,x)\right).$

Прямые на планарной модели являются проекциями больших окружностей сферы, поскольку через прямую на плоскости и начало 3-мерных координат можно провести плоскость, и эта плоскость будет пересекать сферу по большой окружности.

Как можно видеть, любой большой окружности на сфере можно сопоставить проективную точку, соответствующую единственной прямой, перпендикулярной плоскости, на которой окружность лежит и которую можно определить как двойственную. Эта прямая пересекает касательную плоскость, и это показывает, каким образом сопоставить единственную точку плоскости любой прямой этой плоскости, таким образом, что точка будет двойственной к прямой.

Свойства

• Дуальная кривая

Ссылки

• A. Adrian Albert, Reuben Sandler. An Introduction to Finite Projective Planes. — New York: Holt, Rinehart and Winston, 1968.
• F. Bachmann, 1959. Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff, Springer, Berlin.
• Р. Бэр. Линейная алгебра и проективная геометрия. — Москва: Издательство иностранной литературы, 1955.
• M.K. Bennett. Affine and Projective Geometry. — New York: Wiley, 1995. — ISBN 0-471-11315-8.
• Albrecht Beutelspacher, Ute Rosenbaum. Projective Geometry: from foundations to applications. — Cambridge: Cambridge University Press, 1998. — ISBN 0-521-48277-1.
• Rey Casse. Projective Geometry: An Introduction. — New York: Oxford University Press, 2006. — ISBN 0-19-929886-6.
• Judith N. Cederberg. A Course in Modern Geometries. — New York: Springer-Verlag, 2001. — ISBN 0-387-98972-2.
• Г.С.М. Коксетер. Действительная проективная плоскость. — Москва: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959.
• Coxeter, H. S. M. Projective Geometry. — 2nd ed. — Springer Verlag, 2003. — ISBN 978-0-387-40623-7.
• Г.С.М. Коксетер. Введение в геометрию. — Москва: «Наука» Главная редакция физико-математической литературы, 1968.
• Г.С.М. Коксетер, С.Л. Грейтцер. Новые встречи с геометрией. — Москва: «Наука» Главная редакция физико-математической литературы, 1978. — (Библиотека математического кружка).
• Dembowski Peter. Finite Geometries. — Berlin: Springer Verlag, 1968.
• Lynn E. Garner. An Outline of Projective Geometry. — New York: North Holland, 1981. — ISBN 0-444-00423-8.
• Greenberg, M.J. Euclidean and non-Euclidean geometries. — 4th ed. — Freeman, 2007.
• Р. Хартсхорн. Основы проективной геометрии. — Москва: «Мир», 1970. — («Современная математика» Популярная серия).
• Hartshorne Robin. Geometry: Euclid and Beyond. — Springer, 2000.
• Д. Гилберт, С. Кон-Фоссен. Наглядная геометрия. — Москва, Ленинград: Главная редакция общетехнической литературы и номографии, 1936.
• D. R. Hughes, F. C. Piper. Projective Planes. — Springer, 1973.
• F. Kárteszi. Introduction to Finite Geometries. — Amsterdam: North-Holland, 1976. — ISBN 0-7204-2832-7.
• R.J. Mihalek. Projective Geometry and Algebraic Structures. — New York: Academic Press, 1972. — ISBN 0-12-495550-9.
• S. Ramanan. Projective geometry // Resonance. — Springer India, August 1997. — Т. 2, вып. 8. — С. 87–94. — ISSN 0971-8044. — doi:10.1007/BF02835009.
• Pierre Samuel. Projective Geometry. — New York: Springer-Verlag, 1988. — ISBN 0-387-96752-4.
• Frederick W. Stevenson. Projective Planes. — San Francisco: W.H. Freeman and Company, 1972. — ISBN 0-7167-0443-9.
• Oswald Veblen, J. W. A. Young. Projective geometry. — Boston: Ginn & Co., 1938. — ISBN 978-1-4181-8285-4.
• О.А. Вольберг. Основные идеи проективной геометрии. — Москва, Ленинград: Учпедгиз, 1949.
• С.Л. Певзнер. Проективная геометрия. — Москва: «Просвещение», 1980. — С. 68-69 § 13 Коллинеации.

Внешние ссылки

Weisstein, Eric W. Duality Principle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.