Постоянная Гельфонда

Постоянная Гельфонда — трансцендентное число $e^{\pi }$ (то есть e в степени π). Названа в честь Александра Осиповича Гельфонда. Доказательство трансцендентности этого числа — один из пунктов седьмой проблемы Гильберта.

Численное значение

Десятичное представление постоянной Гельфонда:

$e^{\pi }\approx 23{,}140\,692\,632\,779\,269\,005\,729\,086\,367\,948\,547\ldots$

Его приближённые значения можно получать, используя рекуррентно определённую последовательность

$k_{n}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}},$ где $k_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}},$

а именно следующее выражение:

$e^{\pi }\approx \left({\frac {1}{4}}k_{n}\right)^{-2^{1-n}}.$

При этом сходимость таких приближений к $e^{\pi }$ достаточно быстрая.

Численное значение постоянной также представимо в виде простой непрерывной дроби: [23; 7, 9, 3, 1, 1, 591, 2, 9, 1, 2, 34, …].

Свойства

• $(e^{\pi })^{i}=-1$

• $e^{\pi }=(e^{i\pi })^{-i}=(-1)^{-i}$

• $e^{\pi }-\pi =19,9990999791894...$

• Каждая дополнительная орбита серий отражений фотонной сферы вокруг невращающейся чëрной дыры Шварцшильда определяется множителем $e^{2\pi }=535.4916555247...$ (квадрат постоянной Гельфонда).

См. также

• Постоянная Гельфонда — Шнайдера $(2^{\sqrt {2}})$

Литература

• Weisstein, Eric W. Gelfond’s Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Gelfond’s Constant (англ.) на сайте PlanetMath.
• David Wells. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. — Middlesex, England: Penguin Books, 1987. — P. 81. — 229 p. — ISBN 978-0140080292.
• Lennart Berggren, Jonathan Borwein, Peter Borwein. Pi: A Source Book. — New York: Springer Verlag, 1997. — P. 422. — 716 p. — ISBN 978-0387949246.