Дробно-линейное преобразование комплексной плоскости

Обзорные статьи: Дробно-линейное преобразование, Дробно-линейная функция, Рациональная функция, Аналлагматическая геометрия и Преобразование Мёбиуса

Дро́бно-лине́йное преобразова́ние комплексной плоскости, — это отображение комплексной плоскости на себя:

$\mathbb {C} \to \mathbb {C} :z\to w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}$,

$a,b,c,d$ — постоянные, $ad-bc\neq 0$.

Дробно-линейные преобразования образуют некоммутативную группу дробно-линейных преобразований.

Дробно-линейное преобразование представляет собой следующие частные случаи:

• одномерное комплексное дробно-линейное преобразование;
• дробно-линейная функция одной комплексной переменной;
• линейная комплексная рациональная функция;
• одномерное комплексное преобразование Мёбиуса.

Дробно-линейное преобразование комплексной плоскости со своими многочисленными великолепными свойствами заслуживает особого изучения, поскольку оно само и различные его частные случаи по необходимости и очень разнообразно используются во многих разделах теории функций комплексного переменного.

Обладая обманчивой простотой, дробно-линейное преобразование составляет основу некоторых захватывающих современных направлений последних математических исследований. Возможное объяснение этого заключается в их тесном и в некотором роде магическом взаимодействии с неевклидовой геометрией. Более того, дробно-линейное преобразование также тесно взаимодействуют с теорией относительности Альберта Эйнштейна, что было использовано сэром Роджером Пенроузом.

Определение дробно-линейного преобразования

Формальное определение

Дро́бно-лине́йное преобразова́ние комплексной плоскости, — это отображение комплексной плоскости на себя:

$\mathbb {C} \to \mathbb {C} :z\to w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}$,

$a,b,c,d$ — постоянные, или коэффициенты, $ad-bc\neq 0$.

Дробно-линейное преобразование $L(z)$ представляет дробь, числитель и знаменатель которой

$az+b$ и $cz+d$

суть целые линейные функции:

При $ad-bc=0$ дробь из $L(z)$ становится сократимой и вырождается в постоянную, то есть $L(z)$ перестаёт быть дробно-линейным преобразованием.

При $c=0$ и $d\neq 0$ дробно-линейная функция $L(z)$ становится следующей целой линейной функцией:

$\mathbb {C} \to \mathbb {C} :z\to w=l(z)={\frac {a}{d}}z+{\frac {b}{d}}$.

Доопределение на расширенной комплексной плоскости

Компактифицируем комплексную плоскость $\mathbb {C}$. Для этого добавим к множеству конечных точек $z\neq \infty$ этой плоскости единственную бесконечную, или бесконечно удалённую, точку $z=\infty$ — некоторый абстрактный идеальный элемент.

Расширенной, или замкнутой, комплексной плоскостью ${\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ называется компактифицированная, то есть дополненная бесконечно удалённой точкой $\infty$, комплексная плоскость $\mathbb {C}$. В связи с этим исходная комплексная плоскость $\mathbb {C}$ иногда называется конечной, или открытой, плоскостью.

Дробно-линейная функция

$\mathbb {C} \to \mathbb {C} :z\to w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}$,

была определена для всех точек расширенной комплексной плоскости ${\widehat {\mathbb {C} }}$, кроме следующих:

• при $c\neq 0$ — кроме точек $z=-{\frac {d}{c}}$ и $z=\infty$;
• при $c=0$ — кроме точки $z=\infty$.

Доопределим дробно-линейную функцию в этих особых точках, чтобы получить следующее преобразование расширенной комплексной плоскости:

${\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}:z\to w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}$.

Легко получить, что:

• при $c=0$ и $d\neq 0$ ввиду

$\lim _{z\to \infty }\left({\frac {a}{d}}z+{\frac {b}{d}}\right)=\infty$

доопределяем с сохранением непрерывности функции

$w(\infty )=\infty$;

• при $c\neq 0$ два выражения

$\lim _{z\to \infty }{\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {a}{c}}$, $\lim _{z\to -{\frac {d}{c}}}{\frac {az+b}{cz+d}}=\infty$

говорят о том, что необходимо доопределить с сохранением непрерывности функции

$w(\infty )={\frac {a}{c}}$, $w\left(-{\frac {d}{c}}\right)=\infty$.

Синонимы дробно-линейного преобразования

В литературе встречаются следующие синонимы дробно-линейного преобразования:

• как противопоставление целому линейному преобразованию:

• лине́йное преобразова́ние комплексной плоскости;
• о́бщее лине́йное преобразова́ние комплексной плоскости;
• билине́йное преобразова́ние комплексной плоскости;
• лине́йная фу́нкция на комплексной плоскости;
• о́бщая лине́йная фу́нкция на комплексной плоскости;

• как проективное преобразование:

• гомографи́ческое преобразова́ние комплексной плоскости;

• отображение множеств — обобщение понятий преобразования и функции;

• дро́бно-лине́йное отображе́ние комплексной плоскости;

• преобразование осуществляется с помощью его функции:

• дро́бно-лине́йная фу́нкция на комплексной плоскости;
• рациона́льная фу́нкция первого порядка;

• преобразование, сохраняющее окружности:

• то́чечное круго́вое преобразова́ние комплексной плоскости;
• преобразова́ние Мёбиуса комплексной плоскости;
• отображе́ние Мёбиуса комплексной плоскости;

• в теории относительности:

• спи́новое преобразова́ние.

Простейшие свойства дробно-линейного преобразования

Детерминант дробно-линейного преобразования

Определитель, или детерминант, дробно-линейного преобразования, записанного в форме

$w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}$, —

это следующая величина, выражение для которой составлено из постоянных дробно-линейного преобразования:

$ad-bc$.

Перепишем функцию дробно-линейного преобразования так, чтобы в её записи появилось выражение для детерминанта. Для этого выделим целую часть дроби и вынесем за скобки коэффициент при переменной $z$ при условии $c\neq 0$:

$w=L(z)={\frac {{\frac {a}{c}}z+{\frac {b}{c}}}{z+{\frac {d}{c}}}}={\frac {{\frac {a}{c}}\left(z+{\frac {d}{c}}\right)+\left({\frac {b}{c}}-{\frac {ad}{c^{2}}}\right)}{z+{\frac {d}{c}}}}=$

$={\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{c^{2}(z+{\frac {d}{c}})}}$, $c\neq 0$.

Теперь очевидно, что при нулевом детерминанте $ad-bc=0$ дробно-линейное преобразование вырождается в постоянную ${\frac {a}{c}}$, то есть отображает всю комплексную плоскость в одну точку ${\frac {a}{c}}$.

Не умаляя общности, можно разделить постоянные $a$, $b$,$c$ и $d$ обычной записи дробно-линейного преобразования либо на ${\sqrt {ad-bc}}$, либо на $-{\sqrt {ad-bc}}$ — без разницы, и получить, что его детерминант будет равен единице:

$ad-bc=1$.

Унимодулярная нормировка — приведение значения детерминанта к единице:

$ad-bc=1$.

Унимодулярное дробно-линейное преобразование — дробно-линейное преобразование с унимодулярной нормировкой.

Биективность, гомеоморфность и конформность

1. Биективность. Дробно-линейное преобразование

${\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}:z\to w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}$.

определена однозначно на всей расширенной комплексной плоскости ${\widehat {\mathbb {C} }}$.

Выразим $z$ через $w$ ($c\neq 0$, случай $c=0$ достаточно очевиден):

$z={\frac {dw-b}{-cw+a}}={\frac {-dw+b}{cw-a}}$,

получаем, что любому $w$, $w\neq {\frac {a}{c}}$ и $w\neq \infty$, отвечает одно определённое $z$, а из доопределения преобразования на расширенной плоскости точкам $w={\frac {a}{c}}$ и $w=\infty$ отвечают точки $z=\infty$ и $z=-{\frac {d}{c}}$ соответственно. Следовательно, дробно-линейное преобразование биективно, то есть взаимно однозначно.

2. Гомеоморфность. Достаточно очевидна непрерывность преобразования в силу его доопределения с сохранением непрерывности на расширенной плоскости ${\widehat {\mathbb {C} }}$. Следовательно, дробно-линейное преобразование гомеоморфно, то есть взаимно однозначно и непрерывно на ${\widehat {\mathbb {C} }}$.

3. Конформность. Найдём производную дробно-линейного преобразования:

${\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}:z\to w=L^{\prime }(z)={\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} z}}={\frac {ad-bc}{(cz+d)^{2}}}$.

Отсюда получаем, что дробно-линейное преобразование конформно при $ad-bc\neq 0$, $z\neq -{\frac {d}{c}}$ и $z\neq \infty$. Очевидно, что точка расширенной комплексной плоскости $z=-{\frac {d}{c}}$ — простой полюс, а точка $z=\infty$ — регулярная, то есть дробно-линейная функция в ней аналитическая. Оба вычета в точках $z=-{\frac {d}{c}}$ и $z=\infty$ отличны от нуля: ${\frac {bc-ad}{c^{2}}}\neq 0$ и ${\frac {ad-bc}{c^{2}}}\neq 0$ соответственно. Следовательно, дробно-линейное преобразование конформно в оставшихся точках $z=-{\frac {d}{c}}$ и $z=\infty$ и, поскольку оно биективно, то и конформно на всей расширенной плоскости ${\widehat {\mathbb {C} }}$.

Равенство представлений дробно-линейных преобразований

Изучению подлежит множество всех дробно-линейных преобразований с ненулевыми детерминантами. Две формы дробно-линейных преобразования расширенной комплексной плоскости ${\widehat {\mathbb {C} }}$

$L_{1}(z)={\frac {a_{1}z+b_{1}}{c_{1}z+d_{1}}}$ и $L_{2}(z)={\frac {a_{2}z+b_{2}}{c_{2}z+d_{2}}}$

называются равными, если их они имеют одинаковые значения, то есть $L_{1}(z)=L_{2}(z)$ при всех значениях комплексной переменной $z$.

Имеет место следующее утверждение:

• две формы дробно-линейных преобразования

$L_{1}(z)={\frac {a_{1}z+b_{1}}{c_{1}z+d_{1}}}$ и $L_{2}(z)={\frac {a_{2}z+b_{2}}{c_{2}z+d_{2}}}$

равны тогда и только тогда, когда их соответствующие постоянные пропорциональны между собой, то есть

$a_{2}=\lambda a_{1}$, $b_{2}=\lambda b_{1}$, $c_{2}=\lambda c_{1}$, $d_{2}=\lambda d_{1}$, $\lambda \neq 0$.

Доказательство

Достаточность. Пусть

$a_{2}=\lambda a_{1}$, $b_{2}=\lambda b_{1}$, $c_{2}=\lambda c_{1}$, $d_{2}=\lambda d_{1}$, $\lambda \neq 0$.

Тогда

${\frac {a_{2}z+b_{2}}{c_{2}z+d_{2}}}={\frac {\lambda a_{1}z+\lambda b_{1}}{\lambda c_{1}z+\lambda d_{1}}}={\frac {a_{1}z+b_{1}}{c_{1}z+d_{1}}}.$

Необходимость. Пусть $L_{1}(z)=L_{2}(z)$. Тогда:

• $L_{1}(0)=L_{2}(0)$, ${\frac {b_{1}}{d_{1}}}={\frac {b_{2}}{d_{2}}}=p$, ${\frac {d_{2}}{d_{1}}}={\frac {b_{2}}{b_{1}}}$;
• $L_{1}(\infty )=L_{2}(\infty )$, ${\frac {a_{1}}{c_{1}}}={\frac {a_{2}}{c_{2}}}=q$, ${\frac {c_{2}}{c_{1}}}={\frac {a_{2}}{a_{1}}}$;
• $L_{1}(1)=L_{2}(1)$, ${\frac {a_{1}+b_{1}}{c_{1}+d_{1}}}={\frac {a_{2}+b_{2}}{c_{2}+d_{2}}}$.

Подставим в последнее равенство выражения

$b_{1}=d_{1}p$, $b_{2}=d_{2}p$, $a_{1}=c_{1}q$, $a_{2}=c_{2}q$,

получим:

${\frac {c_{1}q+d_{1}p}{c_{1}+d_{1}}}={\frac {c_{2}q+d_{2}p}{c_{2}+d_{2}}}$,

$(c_{1}q+d_{1}p)(c_{2}+d_{2})=(c_{2}q+d_{2}p)(c_{1}+d_{1})$,

$c_{2}d_{1}p+c_{1}d_{2}q-c_{1}d_{2}p-c_{2}d_{1}q=0$,

$(c_{1}d_{2}-c_{2}d_{1})(q-p)=0$.

Если $q=p$, то ${\frac {a_{1}}{c_{1}}}={\frac {b_{1}}{d_{1}}}$, имеем противоречие — детерминант равен нулю: $a_{1}d_{1}-b_{1}c_{1}=0$. Следовательно, $q\neq p$, и тогда необходимо

${\frac {d_{2}}{d_{1}}}={\frac {c_{2}}{c_{1}}}$.

Собирая всё вместе, получаем:

${\frac {a_{2}}{a_{1}}}={\frac {b_{2}}{b_{1}}}={\frac {c_{2}}{c_{1}}}={\frac {d_{2}}{d_{1}}}=\lambda$.

Последнее утверждение имеет следующее следствие:

• значение детерминанта $ad-bc$ дробно-линейного преобразования $L(z)$ не постоянно для равных преобразований.

Действительно, если постоянные $a$, $b$, $c$ и $d$ заменить на постоянные $\lambda a$, $\lambda b$, $\lambda c$ и $\lambda d$ при $\lambda \neq 0$, то детерминант увеличится в $\lambda ^{2}$ раз. Для равных форм преобразований неизменно отличие детерминанта.

Таким образом, дробно-линейное преобразование

$L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}$,

имея в этой форме четыре постоянные, зависит только от трёх комплексных параметров.

Неподвижные точки

В общем случае дробно-линейного преобразования расширенной комплексной плоскости ${\widehat {\mathbb {C} }}$

${\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}:z\to w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}$,

его образ $w$, как правило, отличен от исходной точки $z$ комплексной плоскости. Тем не менее и здесь присутствуют неподвижные точки преобразования $L(z)$.

Неподвижная точка дробно-линейного преобразования — это точка комплексной плоскости, совпадающая со своим образом при этом преобразовании. Следовательно, неподвижная точка должна удовлетворять следующему уравнению:

$z={\frac {az+b}{cz+d}}$,

$z(cz+d)=az+b$,

$cz^{2}+(d-a)z-b=0$.

Это квадратное уравнение всегда имеет два различных или совпадающих корня (за исключением случая тождественного дробно-линейного преобразования $z=z$). В случае, когда при $c=0$ второй корень отсутствует, будем считать, что он тоже «равен бесконечности» $\infty$. В частности:

• имеется хотя бы одна неподвижная точка $z=0$ тогда и только тогда, когда $b=0$, поскольку $0=L(0)={\frac {b}{d}}$;
• имеется хотя бы одна неподвижная точка $z=\infty$ тогда и только тогда, когда $c=0$, поскольку $\infty =L(\infty )={\frac {a\infty +b}{c\infty +d}}$.

Неподвижные точки целого линейного преобразования

Имеется критерий неподвижных точек того, что преобразование — целое линейное:

• целое линейное преобразование имеет хотя бы одну бесконечно удаленную неподвижную точку.

Дробно-линейная функция $L(z)$ — целая линейная, если её постоянные $c=0$ и $d\neq 0$:

${\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}:z\to w=l(z)={\frac {a}{d}}z+{\frac {b}{d}}$.

В любом случае, поскольку всегда $l(\infty )=\infty$, у целого линейного преобразования есть неподвижная точка — это бесконечно удалённая точка $\xi _{1}=\infty$ расширенной комплексной плоскости ${\widehat {\mathbb {C} }}$.

1. Случай $a\neq d$. Точка

$\xi _{2}={\frac {\frac {b}{d}}{1-{\frac {a}{d}}}}={\frac {b}{d-a}}$ —

конечная вторая неподвижная точка целого линейного преобразования

$w={\frac {a}{d}}z+{\frac {b}{d}}$,

задаваемая этим уравнением.

2. Случай $a=d$. Если ${\frac {a}{d}}=1$ и ${\frac {b}{d}}\neq 0$, то у целого линейного преобразования

$w=z+{\frac {b}{d}}$

нет конечной неподвижной точки. Однако его бесконечная удалённая точка представляет собой две слившиеся неподвижные точки, поскольку при ${\frac {a}{d}}\neq 1$, ${\frac {b}{d}}\neq 0$ и ${\frac {a}{d}}\to 1$ конечная неподвижная точка

$\xi _{1}={\frac {\frac {b}{d}}{1-{\frac {a}{d}}}}={\frac {b}{d-a}}$

стремится к бесконечно удалённой.

Неподвижные точки общего дробно-линейного преобразования

Дробно-линейная функция $L(z)$ считается дробно-линейной функцией общего вида, если её постоянная $c\neq 0$. У такой функции следующие точки комплексной плоскости не являются неподвижными:

$z=\infty$ и $z=-{\frac {d}{c}}$,

так как

$L(\infty )={\frac {a}{c}}\neq \infty$ и $L(-{\frac {d}{c}})=\infty \neq -{\frac {d}{c}}$

соответственно.

Теперь, решая в общем случае уравнение

$z={\frac {az+b}{cz+d}}$, то есть $cz^{2}+(d-a)z-b=0$,

при

$z\neq \infty$ и $z\neq -{\frac {d}{c}}$,

получим:

$\xi _{1},\xi _{2}={\frac {a-d\pm {\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{2c}}=$

$={\frac {a-d\pm {\sqrt {(a+d)^{2}-4(ad-bc)}}}{2c}}$.

Для унимодулярного дробно-линейного преобразования имеем:

$\xi _{1},\xi _{2}={\frac {a-d\pm {\sqrt {(a+d)^{2}-4}}}{2c}}$.

Имеем два случая.

• Дискриминант не равен нулю:

$(a-d)^{2}+4bc\neq 0$,

в унимодулярном случае:

$(a+d)^{2}-4\neq 0$.

Тогда существуют две различные конечные неподвижные точки.

• Дискриминант равен нулю:

$(a-d)^{2}+4bc=0$,

в унимодулярном случае:

$(a+d)^{2}-4=0$, то есть $a+d=\pm 2$.

Тогда существует одна двойная конечная неподвижная точка

$\xi _{1}={\frac {a-d}{2c}}$,

которая равна нулю тогда и только тогда, когда $a=d$, $c\neq 0$.

Равенство дробно-линейных преобразований по трём точкам

Только тождественное дробно-линейное преобразование $U(z)=z$ имеет более двух неподвижны точек, у него все точки комплексной плоскости неподвижны. Поэтому, если у дробно-линейного преобразования больше двух неподвижных точек, то оно тождественное. Получается следующее утверждение:

• два дробно-линейных преобразования равны, если их значения совпадают в трёх различных точках.

Доказательство

Пусть значения двух дробно-линейных преобразований $L(z)$ и $\Lambda (z)$ совпадают в трёх различных точках $z_{1}$, $z_{2}$ и $z_{3}$:

$L(z_{k})=\Lambda (z_{k})=w_{k}$, $k=1,2,3$.

Тогда для обратного преобразования

$\Lambda ^{-1}(w_{k})=z_{k}$,

и для последовательного выполнения преобразований $w=L(z)$ и $z=\Lambda ^{-1}(w)$ получаем:

$\Lambda ^{-1}L(z_{k})=z_{k}$,

Преобразование $\Lambda ^{-1}L(z_{k})$ получилось тождественное, поскольку у него три различные неподвижные точки $z_{1}$, $z_{2}$ и $z_{3}$:

$\Lambda ^{-1}L=U$.

Отсюда, с одной стороны,

$\Lambda (\Lambda ^{-1}L)=\Lambda U=\Lambda$,

а с другой стороны, в силу ассоциативности последовательного выполнения преобразований, то же самое выражение

$\Lambda (\Lambda ^{-1}L)=(\Lambda \Lambda ^{-1})L=UL=L$.

В итоге заключаем, что два дробно-линейных преобразования $L(z)$ и $\Lambda (z)$ равны:

$\Lambda =L$.

Следовательно, для задания дробно-линейного преобразования достаточно иметь три различные точки комплексной плоскости $z_{1}$, $z_{2}$ и $z_{3}$ вместе с их образами $w_{1}$, $w_{2}$ и $w_{3}$, причём такое преобразование единственное.

Это согласуется с тем, что дробно-линейное преобразование зависит только от трёх комплексных параметров.

Построение дробно-линейных преобразований по трём точкам

Построение преобразования по трём конкретным точкам

Построим дробно-линейное преобразование $\Lambda (z)$, единственное по доказанному выше утверждению, по трём конечным точкам $z_{1}$, $z_{2}$ и $z_{3}$, на которых преобразование имеет следующие конкретные и не всегда конечные значения:

$0=\Lambda (z_{1})$, $\infty =\Lambda (z_{2})$, $1=\Lambda (z_{3})$.

Имеет место следующее утверждение:

• дробно-линейное преобразование $\Lambda (z)$, отображающее произвольные конечные комплексные точки $z_{1}$, $z_{2}$ и $z_{3}$ в конкретные точки $0$, $\infty$ и $1$ соответственно, задаётся следующей функцией:

$\Lambda (z)={\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}}{\frac {z_{3}-z_{2}}{z_{3}-z_{1}}}$.

Доказательство

Функция

$w=\Lambda (z)={\frac {az+b}{cz+d}}$

дробно-линейного преобразования:

• равна $0$ при $z=z_{1}$ тогда и только тогда, когда числитель дроби функции равен $a(z-z_{1})$;
• равна $\infty$ при $z=z_{2}$ тогда и только тогда, когда знаменатель дроби функции равен $c(z-z_{2})$,

поэтому функция имеет следующий вид:

$w={\frac {a}{c}}{\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}}$.

Далее, $1=\Lambda (z_{3})$, то есть

$1={\frac {a}{c}}{\frac {z_{3}-z_{1}}{z_{3}-z_{2}}}$,

откуда получаем функцию

$w=\Lambda (z)={\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}}{\frac {z_{3}-z_{2}}{z_{3}-z_{1}}}$.

Построение преобразования по любым трём точкам

1. Сначала построим дробно-линейное преобразование $L(z)$, единственное по доказанному выше утверждению, по трём конечным точкам $z_{1}$, $z_{2}$ и $z_{3}$, на которых преобразование имеет следующие конечные значения:

$w_{1}=L(z_{1})$, $w_{2}=L(z_{2})$, $w_{3}=L(z_{3})$.

Имеет место следующее утверждение:

• дробно-линейное преобразование $w=L(z)$, отображающее произвольные конечные комплексные точки $z_{1}$, $z_{2}$ и $z_{3}$ в произвольные конечные точки $w_{1}$, $w_{2}$ и $w_{3}$ соответственно, задаётся следующей неявной функцией:

${\frac {w-w_{1}}{w-w_{2}}}{\frac {w_{3}-w_{2}}{w_{3}-w_{1}}}={\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}}{\frac {z_{3}-z_{2}}{z_{3}-z_{1}}}$.

Доказательства 1 и 2

Доказательство 1. Согласно доказанному выше, функция

$\Lambda _{1}(w)={\frac {w-w_{1}}{w-w_{2}}}{\frac {w_{3}-w_{2}}{w_{3}-w_{1}}}$

отображает произвольные конечные комплексные точки $w_{1}$, $w_{2}$ и $w_{3}$ в конкретные точки $0$, $\infty$ и $1$. Следовательно, последовательное выполнение функций $\Lambda _{1}L(z)$ отобразит комплексные точки $z_{1}$, $z_{2}$ и $z_{3}$ в точки $0$, $\infty$ и $1$:

$\Lambda _{1}L(z)=\Lambda (z)={\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}}{\frac {z_{3}-z_{2}}{z_{3}-z_{1}}}$.

Произведя замену $w=L(z)$, получаем:

$\Lambda _{1}(w)=\Lambda (z)$,

то есть

${\frac {w-w_{1}}{w-w_{2}}}{\frac {w_{3}-w_{2}}{w_{3}-w_{1}}}={\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}}{\frac {z_{3}-z_{2}}{z_{3}-z_{1}}}$.

Доказательство 2. Рассмотрим дробно-линейное преобразование

${\frac {w-w_{1}}{w-w_{2}}}{\frac {w_{3}-w_{2}}{w_{3}-w_{1}}}={\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}}{\frac {z_{3}-z_{2}}{z_{3}-z_{1}}}$.

Оно переводит произвольные конечные комплексные точки $z_{1}$, $z_{2}$ и $z_{3}$ в произвольные конечные точки $w_{1}$, $w_{2}$ и $w_{3}$ соответственно, поскольку:

• обе его части равны нулю при $z=z_{1}$ и $w=w_{1}$;
• обе его части равны бесконечности при $z=z_{2}$ и $w=w_{2}$;
• обе его части равны единице при $z=z_{3}$ и $w=w_{3}$.

2. Дробно-линейное преобразование построено по трём точкам для случая, когда все шесть точек $z_{k}$ и $w_{l}$, $k,l=1,2,3$, конечные. В случае бесконечных точек нужно воспользоваться следующим мнемоническим правилом:

• в случае, если какая-то $z_{k_{0}}=\infty$ (только одна, так как $\infty$ одна на плоскости для z) или какая-то $w_{l_{0}}=\infty$ (только одна, так как $\infty$ одна на плоскости для w) или они обе вместе $z_{k_{0}}=w_{l_{0}}=\infty$, то тогда в уравнении

${\frac {w-w_{1}}{w-w_{2}}}{\frac {w_{3}-w_{2}}{w_{3}-w_{1}}}={\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}}{\frac {z_{3}-z_{2}}{z_{3}-z_{1}}}$

разности с бесконечными $z_{k_{0}}$ и $w_{l_{0}}$ заменяются на константу 1, то есть попросту вычёркиваются.

Поскольку каждая из шести точек $z_{k}$ и $w_{l}$ входит в последнее уравнение дважды. один раз в числителе уравнения, а второй раз в его знаменателе, причём с одним и тем же знаком, то это правило легко проверяется с использованием предельного перехода к бесконечности. Например, если точка $z_{1}=\infty$, то тогда, временно считая $z_{1}$ конечной, заменим $z-z_{1}$ на

${\frac {z}{z_{1}}}-1$

и затем осуществим переход к пределу при $z_{1}\to \infty$.

Двойное отношение четырёх точек

Двойное, или ангармоническое, отношением четырёх чисел или точек — это числовая величина, равная отношению

$(z_{1},z_{2},z_{3},z_{4})={\frac {z_{3}-z_{1}}{z_{3}-z_{2}}}{\frac {z_{4}-z_{2}}{z_{4}-z_{1}}}$,

где $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}$ суть четыре произвольных различных конечных комплексных числа.

Если обозначить двойное отношение четвёрки чисел через $\lambda$, то при любой из 24 перестановок четвёрки чисел, входящих в это двойное отношение, получаем одну из следующих шести числовых величин:

$\lambda ,{\frac {1}{\lambda }},1-\lambda ,{\frac {1}{1-\lambda }},{\frac {\lambda -1}{\lambda }},{\frac {\lambda }{\lambda -1}}$.

Распространим это определение на случай бесконечной точки.

Двойное отношением четырёх точек, одна из которых бесконечно удалённая, — это предел двойного отношения четырёх конечных точек, когда соответствующая точка стремится к бесконечности.

В соответствии с последним определением получаем разные виды двойного отношения четырёх точек:

$(\infty ,z_{2},z_{3},z_{4})={\frac {z_{4}-z_{2}}{z_{3}-z_{2}}}$,

$(z_{1},\infty ,z_{3},z_{4})={\frac {z_{3}-z_{1}}{z_{4}-z_{1}}}$,

$(z_{1},z_{2},\infty ,z_{4})={\frac {z_{4}-z_{2}}{z_{4}-z_{1}}}$,

$(z_{1},z_{2},z_{3},\infty )={\frac {z_{3}-z_{1}}{z_{3}-z_{2}}}$.

Имеет место следующее утверждение, называемое инвариантностью двойного отношения:

• двойное отношением четырёх точек есть инвариант дробно-линейного преобразования

$w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}$,

то есть двойное отношением четырёх точек остаётся неизменным при действии дробно-линейного преобразования.

Доказательства 1 и 2

Доказательство проведём двумя разными способами. Пусть:

• $w=L(z)$ — произвольное дробно-линейное преобразование;
• $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}$ — четыре произвольные различные точки комплексной плоскости;
• $w_{1},w_{2},w_{3},w_{4}$ — образы соответственно точек $a,b,c,d$ при преобразовании $w=L(z)$.

Доказательство 1. Построим дробно-линейное преобразование по трём точкам: три из четырёх точек $z_{1},z_{2},z_{4}$ отображаются преобразованием $w=L(z)$ в три точки $w_{1},w_{2},w_{4}$ соответственно, то есть

${\frac {w-w_{1}}{w-w_{2}}}{\frac {w_{4}-w_{2}}{w_{4}-w_{1}}}={\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}}{\frac {z_{4}-z_{2}}{z_{4}-z_{1}}}$,

причём разности с бесконечно удалённой точкой, если они есть, нужно заменить единицей.

Поскольку $w_{3}=L(z_{3})$, то при $z=z_{3}$ получаем:

${\frac {w_{3}-w_{1}}{w_{3}-w_{2}}}{\frac {w_{4}-w_{2}}{w_{4}-w_{1}}}={\frac {z_{3}-z_{1}}{z_{3}-z_{2}}}{\frac {z_{4}-z_{2}}{z_{4}-z_{1}}}$,

причём разности с бесконечно удалённой точкой, если они есть, нужно заменить единицей.

Отсюда сразу по определению следует, что

$(w_{1},w_{2},w_{3},w_{4})=(z_{1},z_{2},z_{3},z_{4})$.

Доказательство 2. Найдём формулу для разности образов точек дробно-линейного преобразования $w_{3}-w_{1}$, формулы остальных разностей вычисляются аналогично:

$w_{3}-w_{1}={\frac {az_{3}+b}{cz_{3}+d}}-{\frac {az_{1}+b}{cz_{1}+d}}=$.

$={\frac {ad-bc}{(cz_{3}+d)(cz_{1}+d)}}(z_{3}-z_{1})$.

Следовательно,

${\frac {w_{3}-w_{1}}{w_{3}-w_{2}}}{\frac {w_{4}-w_{2}}{w_{4}-w_{1}}}={\frac {z_{3}-z_{1}}{z_{3}-z_{2}}}{\frac {z_{4}-z_{2}}{z_{4}-z_{1}}}$,

причём разности с бесконечно удалённой точкой, если они есть, нужно заменить единицей.

Нормальная форма дробно-линейного преобразования

Общий случай двух различных конечных неподвижных точек

Итак, если не учитывать тождественное преобразование $z=z$, то дробно-линейного преобразования разделены на два класса:

• имеющие две неподвижные точки $\xi _{1}$ и $\xi _{2}$;
• имеющие одну неподвижную точку $\xi _{1}$.

Для общего случая дробно-линейного преобразования имеет место следующее утверждение:

• дробно-линейное преобразование

${\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}:z\to w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}$,

в общем случае имеющее при условиях $c\neq 0$ и $(a-d)^{2}+4bc\neq 0$ две различные конечные неподвижные точки

$\xi _{1},\xi _{2}={\frac {a-d\pm {\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{2c}}=$

$={\frac {a-d\pm {\sqrt {(a+d)^{2}-4(ad-bc)}}}{2c}}$,

можно представить в неявной форме как

${\frac {w-\xi _{1}}{w-\xi _{2}}}=K{\frac {z-\xi _{1}}{z-\xi _{2}}}$, где $K={\frac {a-c\xi _{1}}{a-c\xi _{2}}}\neq 0;1$.

Доказательства 1 и 2

По условию, дробно-линейное преобразование $w=L(z)$:

• переводит неподвижную точку $\xi _{1}$ в точку $\xi _{1}$;
• переводит неподвижную точку $\xi _{2}$ в точку $\xi _{2}$.

Чтобы полностью определить преобразование $w=L(z)$, выберем третью точку, воспользуемся тем, что преобразование:

• переводит бесконечную точку $\infty$ в точку ${\frac {a}{c}}$.

Доказательство 1. Так как две различные неподвижные точки $\xi _{1}$ и $\xi _{2}$ можно упорядочить двумя разными способами, то рассмотрим два случая.

1. Пусть

$v=S(w)={\frac {w-\xi _{1}}{w-\xi _{2}}}$, $y=S(z)={\frac {z-\xi _{1}}{z-\xi _{2}}}$ —

два дробно-линейных преобразования, и $z=S^{-1}(y)$ — преобразование, обратное к преобразованию $y=S(z)$. Тогда получаем:

$v=SLS^{-1}(y)$.

Поскольку у последнего дробно-линейного преобразования, отображающего $y$ в $v$, две неподвижные точки $0$ и $\infty$:

$SLS^{-1}(0)=SL(\xi _{1})=S(\xi _{1})=0$,

$SLS^{-1}(\infty )=SL(\xi _{2})=S(\xi _{2})=\infty$,

то оно обязательно имеет вид

$v=Ky$,

где $K$ — некоторая комплексная постоянная,

$Ky=SLS^{-1}$, $L=S^{-1}KyS$.

Тем самым получаем следующую неявную форму некоторого дробно-линейного преобразования:

${\frac {w-\xi _{1}}{w-\xi _{2}}}=K{\frac {z-\xi _{1}}{z-\xi _{2}}}$.

Это преобразование имеет две неподвижные точки $\xi _{1}$ и $\xi _{2}$. Так как оно переводит третью точку $\infty$ в точку ${\frac {a}{c}}$:

${\frac {{\frac {a}{c}}-\xi _{1}}{{\frac {a}{c}}-\xi _{2}}}=K$, то есть $K={\frac {a-c\xi _{1}}{a-c\xi _{2}}}$,

то эта неявная форма будет представлять дробно-линейное преобразование $L$. Причём $K\neq 1$, поскольку $\xi _{1}\neq \xi _{2}$, и $K\neq 0$, поскольку дробно-линейное преобразование не вырождается в постоянную.

2. Аналогично можно показать, что в случае другого порядка неподвижных точек неявная форма дробно-линейного преобразования $L$

${\frac {w-\xi _{2}}{w-\xi _{1}}}={\frac {1}{K}}{\frac {z-\xi _{2}}{z-\xi _{1}}}$,

где ${\frac {1}{K}}={\frac {a-c\xi _{2}}{a-c\xi _{1}}}$, $K\neq 0;1$ — постоянная.

Доказательство 2. Построим дробно-линейное преобразование $L$ по этим шести точкам, подставив их в уравнение

${\frac {w-w_{1}}{w-w_{2}}}{\frac {w_{3}-w_{2}}{w_{3}-w_{1}}}={\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}}{\frac {z_{3}-z_{2}}{z_{3}-z_{1}}}$.

Сделать это можно двумя основными способами:

• $z_{1}=\xi _{1}$, $w_{1}=\xi _{1}$, $z_{2}=\xi _{2}$, $w_{2}=\xi _{2}$, $z_{3}\to \infty$, $w_{3}={\frac {a}{c}}$;
• $z_{1}=\xi _{2}$, $w_{1}=\xi _{2}$, $z_{2}=\xi _{1}$, $w_{2}=\xi _{1}$, $z_{3}\to \infty$, $w_{3}={\frac {a}{c}}$.

При первом способе получаем следующую неявную форму преобразования $L$:

${\frac {w-\xi _{1}}{w-\xi _{2}}}{\frac {{\frac {a}{c}}-\xi _{2}}{{\frac {a}{c}}-\xi _{1}}}={\frac {z-\xi _{1}}{z-\xi _{2}}}$,

${\frac {w-\xi _{1}}{w-\xi _{2}}}=K{\frac {z-\xi _{1}}{z-\xi _{2}}}$, где $K={\frac {a-c\xi _{1}}{a-c\xi _{2}}}$, $K\neq 0;1$.

При втором:

${\frac {w-\xi _{2}}{w-\xi _{1}}}={\frac {1}{K}}{\frac {z-\xi _{2}}{z-\xi _{1}}}$, где ${\frac {1}{K}}={\frac {a-c\xi _{2}}{a-c\xi _{1}}}$, $K\neq 0;1$.

Следует иметь в виду, что вид формул для $K$ зависит не только от порядка неподвижных точек, но еще и от выбранной третьей точки преобразования.

Определение нормальной формы и множителя

Неявная форма

${\frac {w-\xi _{1}}{w-\xi _{2}}}=K_{1}{\frac {z-\xi _{1}}{z-\xi _{2}}}$

называется нормальной формой, или каноническим видом, дробно-линейное преобразование с двумя различными конечными неподвижными точками, а постоянная $K$ называется множителем дробно-линейного преобразования.

Неявная форма представления дробно-линейного преобразования через множитель

${\frac {w-\xi _{1}}{w-\xi _{2}}}=K{\frac {z-\xi _{1}}{z-\xi _{2}}}$

обладает следующим преимуществом по сравнению с обычным явным представлением

$w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}$:

любую степень дробно-линейного преобразования $L^{n}$ в неявной форме имеет простой вид. Степень преобразования в явном виде очень сложно выражается через постоянные $a$, $b$, $c$ и $d$. Наоборот, действие преобразования самого на себя в неявной форме имеет простой вид, например:

$L^{2}:(v=Ky)^{2}$,

$L^{2}:v=K(Ky)=K^{2}y$,

$L^{2}:{\frac {w-\xi _{1}}{w-\xi _{2}}}=K^{2}{\frac {z-\xi _{1}}{z-\xi _{2}}}$.

Аналогично

$L^{n}:{\frac {w-\xi _{1}}{w-\xi _{2}}}=K^{n}{\frac {z-\xi _{1}}{z-\xi _{2}}}$;

$L^{-1}:{\frac {w-\xi _{1}}{w-\xi _{2}}}=K^{-1}{\frac {z-\xi _{1}}{z-\xi _{2}}}$;

$(L^{-1})^{n}:{\frac {w-\xi _{1}}{w-\xi _{2}}}=K^{-n}{\frac {z-\xi _{1}}{z-\xi _{2}}}$.

Забегая вперёд, можно сказать, что в частных случаях дробно-линейного преобразования неявная форма степени также имеет простой вид:

• случай одной конечной и одной бесконечной неподвижных точек:

$L^{n}:w-\xi _{1}=K^{n}(z-\xi _{1})$;;

$(L^{-1})^{n}:w-\xi _{1}=K^{-n}(z-\xi _{1})$;;

• случай совпадающих конечных неподвижных точек:

$L^{n}:{\frac {1}{w-\xi _{1}}}={\frac {1}{z-\xi _{1}}}+nh$;

$(L^{-1})^{n}:{\frac {1}{w-\xi _{1}}}={\frac {1}{z-\xi _{1}}}-nh$;

• случай совпадающих бесконечных неподвижных точек:

$L^{n}:w=z+nh$;

$(L^{-1})^{n}:w=z-nh$.

Выражения множителя через постоянные преобразования

Имеет место следующее утверждение:

• множитель $K$, независимо от выбора третьей точки при их вычислении, выражаются двумя способами через постоянные дробно-линейного преобразования:

• через симметричную функцию $\xi _{1}$ и $\xi _{2}$, также не зависящую от порядка этих неподвижных точек:

$K+{\frac {1}{K}}={\frac {(a+d)^{2}}{ad-bc}}-2$,

в унимодулярном случае:

$K+{\frac {1}{K}}=(a+d)^{2}-2$,

или

${\sqrt {K}}+{\frac {1}{\sqrt {K}}}=a+d$;

• непосредственно:

$K={\frac {a+d-{\sqrt {(a+d)^{2}-4(ad-bc)}}}{a+d+{\sqrt {(a+d)^{2}-4(ad-bc)}}}}$,

в унимодулярном случае:

$K={\frac {a+d-{\sqrt {(a+d)^{2}-4}}}{a+d+{\sqrt {(a+d)^{2}-4}}}}$.

В любом случае при унимодулярном дробно-линейном преобразовании множитель $K$ зависят только от суммы двух постоянных преобразования $a+d$.

Доказательства 1 и 2

Доказательство 1. Выразить множитель $K$ через постоянные дробно-линейного преобразования

${\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}:z\to w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}$,

удобнее с помощью симметричной функции $\xi _{1}$ и $\xi _{2}$

$K+{\frac {1}{K}}={\frac {a-c\xi _{1}}{a-c\xi _{2}}}+{\frac {a-c\xi _{2}}{a-c\xi _{1}}}=$

$={\frac {2a^{2}-2ac(\xi _{1}+\xi _{2})+c^{2}(\xi _{1}^{2}+\xi _{2}^{2})}{a^{2}-ac(\xi _{1}+\xi _{2})+c^{2}\xi _{1}\xi _{2}}}$.

Вспоминая формулы Виета и то, что уравнение

$cz^{2}+(d-a)z-b=0$

имеет корни $\xi _{1}$ и $\xi _{2}$, получаем:

$\xi _{1}+\xi _{2}={\frac {a-d}{c}}$, $\xi _{1}\xi _{2}=-{\frac {b}{c}}$,

откуда

$\xi _{1}^{2}+\xi _{2}^{2}={\frac {(a-d)^{2}+2bc}{c^{2}}}$,

$K+{\frac {1}{K}}={\frac {a^{2}+d^{2}+2bc}{ad-bc}}=$

$={\frac {(a+d)^{2}-2(ad-bc)}{ad-bc}}=$

$={\frac {(a+d)^{2}}{ad-bc}}-2$.

Доказательство 2. Подставляя в выражение для $K$

$K={\frac {a-c\xi _{1}}{a-c\xi _{2}}}$,

значения

$\xi _{1}={\frac {a-d+{\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{2c}}$,

$\xi _{2}={\frac {a-d-{\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{2c}}$,

получаем:

$K={\frac {a+d-{\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{a+d+{\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}}=$

$={\frac {a+d-{\sqrt {(a+d)^{2}-4(ad-bc)}}}{a+d+{\sqrt {(a+d)^{2}-4(ad-bc)}}}}$.

Классификация дробно-линейных преобразований

Две различные неподвижные точки, одна бесконечная

Имеет место следующее утверждение:

• целое линейное преобразование

${\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}:z\to w=L(z)={\frac {az+b}{d}}$,

имеющее при условиях $c=0$ и $a\neq d$ и унимодулярной нормировке $ad=1$ две различные неподвижные точки

$\xi _{1}={\frac {b}{d-a}}$ и $\xi _{2}=\infty$,

можно представить в неявной нормальной форме как

$w-\xi _{1}=K(z-\xi _{1})$,

где $K={\frac {a}{d}}\neq 1$ — постоянная, причём также $K\neq 0$, поскольку дробно-линейное преобразование не вырождается в постоянную,

$K+{\frac {1}{K}}={\frac {a}{d}}+{\frac {d}{a}}={\frac {a^{2}+d^{2}}{ad}}=$.

$={\frac {(a+d)^{2}-2ad}{ad}}={\frac {(a+d)^{2}}{ad}}-2$,

в унимодулярном случае, как и для двух различных конечных неподвижных точек,

$K+{\frac {1}{K}}=(a+d)^{2}-2$.

Доказательства 1 и 2

По условию, целое линейное преобразование $w=L(z)$:

• переводит неподвижную точку $\xi _{1}$ в точку $\xi _{1}$;
• переводит неподвижную точку $\xi _{2}=\infty$ в точку $\xi _{2}=\infty$.

Чтобы полностью определить преобразование $w=L(z)$, выберем общую третью точку, воспользуемся тем, что преобразование:

• переводит произвольную точку $z_{0}$ в точку ${\frac {az_{0}+b}{d}}$.

Доказательство 1. Так как две различные неподвижные точки $\xi _{1}$ и $\xi _{2}$ можно упорядочить двумя разными способами, то рассмотрим два случая.

1. Пусть

$v=S(w)=w-\xi _{1}$, $y=S(z)=z-\xi _{1}$ —

два целых линейных преобразования, и $z=S^{-1}(y)$ — преобразование, обратное к преобразованию $y=S(z)$. Тогда получаем:

$v=SLS^{-1}(y)$.

Поскольку у последнего целого линейного преобразования, отображающего $y$ в $v$, две неподвижные точки $0$ и $\infty$:

$SLS^{-1}(0)=SL(\xi _{1})=S(\xi _{1})=0$,

$SLS^{-1}(\infty )=SL(\xi _{2})=S(\xi _{2})=\infty$,

то оно обязательно имеет вид $v=Ky$, где $K$ — некоторая комплексная постоянная,

$Ky=SLS^{-1}$, $L=S^{-1}KyS$.

Тем самым получаем следующую неявную форму некоторого целого линейного преобразования:

$w-\xi _{1}=K(z-\xi _{1})$.

Это преобразование имеет две неподвижные точки $\xi _{1}$ и $\infty$. Так как оно переводит третью произвольную точку $z_{0}$ в точку ${\frac {az_{0}+b}{d}}$:

${\frac {az_{0}+b}{d}}-\xi _{1}=K(z_{0}-\xi _{1})$, то есть $K={\frac {az_{0}+b-d\xi _{1}}{d(z_{0}-\xi _{1})}}$,

то тогда эта неявная форма будет представлять целое линейное преобразование $L.$

2. Аналогично можно показать, что в случае другого порядка неподвижных точек неявная форма дробно-линейного преобразования $L$

${\frac {1}{w-\xi _{1}}}={\frac {1}{K}}{\frac {1}{z-\xi _{1}}}$,

где ${\frac {1}{K}}={\frac {d(z_{0}-\xi _{1})}{az_{0}+b-d\xi _{1}}}$ — постоянная.

Доказательство 2. Построим дробно-линейное преобразование $L$ по этим шести точкам, подставив их в уравнение

${\frac {w-w_{1}}{w-w_{2}}}{\frac {w_{3}-w_{2}}{w_{3}-w_{1}}}={\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}}{\frac {z_{3}-z_{2}}{z_{3}-z_{1}}}$.

Сделать это можно двумя основными способами:

• $z_{1}=\xi _{1}$, $w_{1}=\xi _{1}$, $z_{2}\to \infty$, $w_{2}\to \infty$, $z_{3}=z_{0}$, $w_{3}={\frac {az_{0}+b}{d}}$;
• $z_{1}\to \infty$, $w_{1}\to \infty$, $z_{2}=\xi _{1}$, $w_{2}=\xi _{1}$, $z_{3}=z_{0}$, $w_{3}={\frac {az_{0}+b}{d}}$.

При первом способе получаем следующую неявную форму преобразования $L$:

${\frac {w-\xi _{1}}{{\frac {az_{0}+b}{d}}-\xi _{1}}}={\frac {z-\xi _{1}}{z_{0}-\xi _{1}}}$,

$w-\xi _{1}=K(z-\xi _{1})$, где $K={\frac {az_{0}+b-d\xi _{1}}{d(z_{0}-\xi _{1})}}$.

При втором:

${\frac {1}{w-\xi _{1}}}={\frac {1}{K}}{\frac {1}{z-\xi _{1}}}$, где ${\frac {1}{K}}={\frac {d(z_{0}-\xi _{1})}{az_{0}+b-d\xi _{1}}}$.

Здесь вид формулы для $K$ зависит только от порядка неподвижных точек, так как третья точка выбрана общей.

Множитель $K$, независимо от выбора третьей точки при их вычислении, просто выражаются через постоянные целого линейного преобразования. Подставляя в выражение для $K$ значение $\xi _{1}={\frac {b}{d-a}}$, получаем:

$K={\frac {az_{0}+b-d{\frac {b}{d-a}}}{d(z_{0}-{\frac {b}{d-a}})}}={\frac {az_{0}d+bd-a^{2}z_{0}-ab-bd}{d(z_{0}d-az_{0}-b)}}=$

$={\frac {a(z_{0}d-az_{0}-b)}{d(z_{0}d-az_{0}-b)}}={\frac {a}{d}}$.

Аналогично

${\frac {1}{K}}={\frac {d}{a}}$.

Очевидно, что

$K+{\frac {1}{K}}={\frac {a}{d}}+{\frac {d}{a}}={\frac {a^{2}+d^{2}}{ad}}=$.

$={\frac {(a+d)^{2}-2ad}{ad}}={\frac {(a+d)^{2}}{ad}}-2$.

Совпадающие неподвижные точки

Рассмотрим дробно-линейное преобразование с одной двойной неподвижной точкой, которую будем обозначать $\xi _{1}$. В этом случае не существует нормальной формы с множителем дробно-линейного преобразования, так как она превращается в тождество.

Имеет место следующее утверждение:

• дробно-линейное преобразование

${\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}:z\to w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}$,

имеющее при условиях $(a-d)^{2}+4bc=0$, в случае унимодулярности $a+d=\pm 2$, и $c\neq 0$ двойную конечную неподвижную точку

$\xi _{1}={\frac {a-d}{2c}}$,

можно представить в неявной нормальной форме как

${\frac {1}{w-\xi _{1}}}={\frac {1}{z-\xi _{1}}}+h$,

где $h={\frac {2c}{a+d}}\neq 0$ — постоянная, в случае унимодулярности $h=\pm c$, причём при $a+d=2$ постоянная $h=c$, а при $a+d=-2$ постоянная $h=-c$.

При $c=0$ и $a=d$, в случае унимодулярности $a=d=\pm 1$, имеем двойную бесконечно удалённую неподвижную точку $\xi _{1}=\infty$ и явную нормальную форму, совпадающую с самим преобразованием $L$ в обычном виде:

$w=z+{\frac {b}{d}}=w=z+h$,

в случае унимодулярности

$w=z\pm b$.

Доказательства 1 и 2

Случай $c\neq 0$. Чтобы полностью определить преобразование $w=L(z)$, выберем три точки $z$ и три их образа $w$:

• неподвижная точка $\xi _{1}$ переводится в точку $\xi _{1}$;
• точка $\infty$ переводится в точку ${\frac {a}{c}}$;
• точка $-{\frac {d}{c}}$ переводится в точку $\infty$.

Доказательство 1. Так как можно сделать так, чтобы дробно-линейное преобразование $v=SLS^{-1}(y)$ имело единственную неподвижную точку бесконечность или нуль, то рассмотрим оба случая.

1. Пусть

$v=S(w)={\frac {1}{w-\xi _{1}}}$, $y=S(z)={\frac {1}{z-\xi _{1}}}$ —

два дробно-линейных преобразования, и $z=S^{-1}(y)$ — преобразование, обратное к преобразованию $y=S(z)$. Тогда получаем:

$v=SLS^{-1}(y)$.

Поскольку у последнего дробно-линейного преобразования, отображающего $y$ в $v$, только одна неподвижная точка $\infty$:

$SLS^{-1}(0)=SL(\infty )=S\left({\frac {a}{c}}\right)={\frac {1}{{\frac {a}{c}}-\xi _{1}}}$,

$SLS^{-1}(\infty )=SL(\xi _{1})=S(\xi _{1})=\infty$,

то оно обязательно имеет вид $v=y+h$, где $h$ — некоторая комплексная постоянная, $h\neq 0$, поскольку тождественное преобразование не рассматривается,

$y+h=SLS^{-1}$, $L=S^{-1}(y+h)S$.

Тем самым получаем следующую неявную форму некоторого дробно-линейного преобразования:

${\frac {1}{w-\xi _{1}}}={\frac {1}{z-\xi _{1}}}+h$.

Это преобразование переводит одну неподвижную точки $\xi _{1}$ саму в себя, а также точку $\infty$ в ${\frac {a}{c}}$ и точку $-{\frac {d}{c}}$ $\infty$. Подставляя последние две точки по-очереди в неявную форму, получаем:

${\frac {1}{{\frac {a}{c}}-\xi _{1}}}=h$, то есть $h={\frac {c}{a-c\xi _{1}}}={\frac {c}{a-c{\frac {a-d}{2c}}}}={\frac {2c}{a+d}}$,

$0={\frac {1}{-{\frac {d}{c}}-\xi _{1}}}+h$, то есть $h={\frac {c}{d-c\xi _{1}}}={\frac {c}{d-c{\frac {a-d}{2c}}}}={\frac {2c}{a+d}}$,

и неявная форма

${\frac {1}{w-\xi _{1}}}={\frac {1}{z-\xi _{1}}}+{\frac {2c}{a+d}}$

представляет дробно-линейное преобразование $L$.

2. Пусть

$v=S(w)=w-\xi _{1}$, $y=S(z)=z-\xi _{1}$ —

два целых линейных преобразования, и $z=S^{-1}(y)$ — преобразование, обратное к преобразованию $y=S(z)$. Тогда получаем:

$v=SLS^{-1}(y)$.

Поскольку у последнего дробно-линейного преобразования, отображающего $y$ в $v$, только одна неподвижная точка $0$:

$SLS^{-1}(0)=SL(\xi _{1})=S(\xi _{1})=0$,

$SLS^{-1}(\infty )=SL(\infty )=S\left({\frac {a}{c}}\right)={\frac {a}{c}}-\xi _{1}$,

то оно обязательно имеет вид

$v={\frac {h_{1}y}{h_{2}y+h_{1}}}$,

где $h_{1}$ и $h_{2}$ — некоторые комплексные постоянные,

${\frac {h_{1}y}{h_{2}y+h_{1}}}=SLS^{-1}$, $L=S^{-1}\left({\frac {h_{1}y}{h_{2}y+h_{1}}}\right)S$.

Преобразуем эту дробно-линейную функцию:

$v={\frac {h_{1}y}{h_{2}y+h_{1}}}$, ${\frac {1}{v}}={\frac {h_{2}y+h_{1}}{h_{1}y}}$,

${\frac {1}{v}}={\frac {1}{y}}+{\frac {h_{2}}{h_{1}}}$, ${\frac {1}{v}}={\frac {1}{y}}+h$,

где $h={\frac {h_{2}}{h_{1}}}$ — некоторая комплексная постоянная.

Получаем, что второй случай сведён к первому.

Доказательство 2. Построим дробно-линейное преобразование $L$ по этим шести точкам, подставив их в уравнение

${\frac {w-w_{1}}{w-w_{2}}}{\frac {w_{3}-w_{2}}{w_{3}-w_{1}}}={\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}}{\frac {z_{3}-z_{2}}{z_{3}-z_{1}}}$.

Сделать это можно двумя основными способами:

• $z_{1}\to \infty$, $w_{1}={\frac {a}{c}}$, $z_{2}=\xi _{1}$, $w_{2}=\xi _{1}$, $z_{3}=-{\frac {d}{c}}$, $w_{3}\to \infty$;
• $z_{1}=\xi _{1}$, $w_{1}=\xi _{1}$, $z_{2}\to \infty$, $w_{2}={\frac {a}{c}}$, $z_{3}=-{\frac {d}{c}}$, $w_{3}\to \infty$.

При первом способе получаем следующую неявную нормальную форму преобразования $L$:

${\frac {w-{\frac {a}{c}}}{w-\xi _{1}}}=-{\frac {{\frac {d}{c}}+\xi _{1}}{z-\xi _{1}}}$.

Вычтем из левой и правой частей этого уравнения единицу:

${\frac {\xi _{1}-{\frac {a}{c}}}{w-\xi _{1}}}=-{\frac {\xi _{1}+{\frac {d}{c}}}{z-\xi _{1}}}-1$.

Принимая во внимание, что

$\xi _{1}-{\frac {a}{c}}={\frac {a-d}{2c}}-{\frac {a}{c}}=-{\frac {a+d}{2c}}$,

$\xi _{1}+{\frac {d}{c}}={\frac {a-d}{2c}}+{\frac {d}{c}}={\frac {a+d}{2c}}$,

получаем неявную нормальную форму

$-{\frac {\frac {a+d}{2c}}{w-\xi _{1}}}=-{\frac {\frac {a+d}{2c}}{z-\xi _{1}}}-1$,

${\frac {1}{w-\xi _{1}}}={\frac {1}{z-\xi _{1}}}+{\frac {2c}{a+d}}$.

При втором способе получаем то же самое, что и при первом.

Случай $c=0$. Когда $c=0$ и $a=d$, возникают совпадающие бесконечно удалённые неподвижные точки $\xi _{1}=\infty$, при этом нормальная форма

$w=z+{\frac {b}{d}}$

совпадает с самим преобразованием $L$ в исходном виде.

Четыре типа дробно-линейных преобразований

Классификация дробно-линейных преобразований строится:

• на количестве неподвижных точек;
• на форме записи функции дробно-линейного преобразования по его неподвижным точкам.

Для классификации дробно-линейных преобразований привлечём показательную, или тригонометрическую, форму комплексного числа. Пусть

$K=re^{i\varphi }$,

где вещественное число $r=|K|\geqslant 0$ — модуль, или абсолютная величина комплексного числа $K$, а вещественное число $-\pi <\varphi =\arg K\leqslant \pi$ — главное значение аргумента комплексного числа $K$.

Тогда можно определить следующие четыре типа дробно-линейных преобразований:

• случай различных неподвижных точек:

• $K=r$, $r>0$, $r\neq 1$, — гиперболическое дробно-линейное преобразование, подобное преобразование с центром в начале координат;
• $K=e^{i\varphi }$, $e^{i\varphi }\neq 1$, — эллиптическое дробно-линейное преобразование, вращение около начала координат;
• $K=re^{i\varphi }$, $r>0$, $r\neq 1$, $e^{i\varphi }\neq 1$, — локсодромическое дробно-линейное преобразование, композиция гиперболического и эллиптического преобразований;

• случай одной неподвижной точки:

• $K=1$ — параболическое дробно-линейное преобразование, это перенос.

Для классификации дробно-линейных преобразований также привлечём два семейства окружностей при двух различных неподвижных точках:

• семейство всех окружностей $\Sigma$, проходящих через обе неподвижные точки $\xi _{1}$ и $\xi _{2}$;
• семейство всех окружностей $\Sigma ^{\prime }$, ортогональных к окружностям первого семейства $\Sigma$.

При единственной неподвижной точке окружности семейства $\Sigma$ превращаются во все окружности, имеющие в неподвижной точке $\xi _{1}$ общую касательную, а семейство окружностей $\Sigma ^{\prime }$ исчезает.

Соберём в следующей таблице простейшие сведения о четырёх типах дробно-линейных преобразований.

Четыре типа дробно-линейных преобразований

	Гиперболическое	Эллиптическое	Локсодромическое	Параболическое
Нормальная форма общего случая $w={\frac {az+b}{cz+d}}$
Бесконечной неподвижной точки нет	${\frac {w-\xi _{1}}{w-\xi _{2}}}=K{\frac {z-\xi _{1}}{z-\xi _{2}}}$			${\frac {1}{w-\xi _{1}}}={\frac {1}{z-\xi _{1}}}+h$
Бесконечная неподвижная точка есть	$w-\xi _{1}=K(z-\xi _{1})$			$w=z+h$
Ограничения на $K$ и $h$	$K\neq 1,$ $K>0$	$K\neq 1,$ $|K|=1$	$|K|\neq 1,$ $\operatorname {Im} K\neq 0$ или $K<0$	$h\neq 0$
Показательная форма $K$	$K=r,$ $r>0,$ $r\neq 1$	$K=e^{i\varphi },$ $e^{i\varphi }\neq 1$	$K=re^{i\varphi },$ $r>0,$ $r\neq 1,$ $e^{i\varphi }\neq 1$	$K=1$
Унимодулярный случай $w={\frac {az+b}{cz+d}},$ $ad-bc=1$
Сумма постоянных $a+d$	$a+d$ вещественное и $|a+d|>2$	$a+d$ вещественное и $|a+d|<2$	$a+d$ комплексное невещественное	$a+d=\pm 2$
Геометрические свойства
Неподвижные круги	Окружности семейства $\Sigma$ и их внутренности отображаются сами в себя	Окружности семейства $\Sigma ^{\prime }$ и их внутренности отображаются сами в себя	Нет неподвижных кругов	Отображаются сами в себя окружности семейства $\Sigma$ и их внутренности
Неподвижные семейства кругов, сами круги не неподвижны	Окружности $\Sigma ^{\prime }$ и их внутренности отображаются в окружности $\Sigma ^{\prime }$ и их внутренности	Нет таких неподвижных семейств кругов	Окружности $\Sigma ^{\prime }$ и их внутренности отображаются в окружности $\Sigma ^{\prime }$ и их внутренности	Нет таких неподвижных семейств кругов
Неподвижные окружности, внутренности которых отображаются вовне	Нет таких неподвижных окружностей	При $\phi =\pi$ окружности семейства $\Sigma$ отображаются сами в себя, их внутренности — вовне	При $\phi =\pi$ окружности семейства $\Sigma$ отображаются сами в себя, их внутренности — вовне	Нет таких неподвижных окружностей
Геометрическое преобразование комплексной плоскости	Подобие	Поворот	Комбинация подобия и поворота	Параллельный перенос

При дробно-линейном преобразовании через каждую точку расширенной комплексной плоскости (кроме неподвижных) проходит одна и только одна окружность неподвижного круга только в случае трёх типов преобразования из четырёх:

• гиперболического,
• эллиптического,
• параболического.

Причём, если $\infty$ не является неподвижной точкой, то есть $c\neq 0$, тогда в каждом из этих трёх случаев существует одна и только одна окружность неподвижного круга, которая проходит через $\infty$, то есть одна неподвижная полуплоскость с границей-прямой, проходящей через $\infty$. Эта прямая проходит также через две конечные точки:

$w(\infty )={\frac {a}{c}}$, $w\left(-{\frac {d}{c}}\right)=\infty$.

Источники

• Альфорс Л. Преобразования Мёбиуса в многомерном пространстве: Пер. с англ. Н. А. Гусевского. Под ред. С. Л. Крушкаля. М.: Мир, 1986. 112 с., ил. [Современная математика. Вводные курсы.] [Ahlfors Lars V. Möbius Transformations in Several Dimensions. School of Mathematics, University of Minnesota, 1981.]
• Гончаров В. Л. Элементарные функции действительного переменного. Пределы последовательностей и функций. Общее понятие функции // Энциклопедия элементарной математики. Книга третья. Функции и пределы (основы анализа) / Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина. М., Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1952. 559 с., ил. С. 11—139.
• Долженко Е. П. Рациональная функция // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 4 Ок—Сло. М.: «Советская Энциклопедия», 1984. 1216 стб., ил. Стб. 917—919.
• Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д. Дробно-линейная функция // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д—Коо. М.: «Советская Энциклопедия», 1979. 1104 стб., ил. Стб. 384.
• Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д., Чирка Е. М. Дробно-линейное отображение // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д—Коо. М.: «Советская Энциклопедия», 1979. 1104 стб., ил. С. 384—387.
• Евграфов М. А. Аналитические функции. Издание третье, перераб. и доп. М.: Наука, 1991. 448 с.: ил. ISBN 5-02-014200-Х.
• Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I. Начала теории. Издание второе. М.: Наука, 1967. 486 с.: ил.
• Роджер Пенроуз, Вольфганг Риндлер. Спиноры и пространство-время. Два-спинорное исчисление и релятивистские поля: Пер. с англ. Д. В. Гальцова и В. И. Хлебникова. М.: Мир, 1987. 528 с, ил.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного : учебник. 15-е изд., стер. СПб.: Лань, 2009. 432 с.: ил. ISBN 978-5-8114-0913-6.
• Соломенцев Е. Д. Комплексное число // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д—Коо. М.: «Советская Энциклопедия», 1979. 1104 стб., ил. Стб. 1007—1011.
• Соломенцев Е. Д. Функции комплексного переменного и их применения: Учеб. пособие для студентов вузов. М.: Высш. шк., 1988. 167 с., ил. ISBN 5-06-003145-6.
• Стоилов С. Теория функций комплексного переменного. Том I. Основные понятия и принципы: Пер. с румынского И. Берштейна. Ред. Е. Д. Соломенцев. М.: Издательство иностранной литературы, 1962. 364 с., ил. [Stoilow S. Teoria Funcțiilor de o Variabilǎ Complexǎ, vol. I Noțiuni și Principii Dundamentale. Editura Academiei Republicii Populare Române, 1954.]
• Форд Р. Автоморфные функции / Пер. с англ. М. М. Гринблюма и В. С. Рабинович под ред. М. М. Гринблюма М. — Л.: Объединённое н.-т. изд-во НКТП СССР. Гл. ред. общетехнической лит-ры и номографии, 1936. 341 с., ил. [Forg Lister R. Automorphic Functions. McGraw-Hill Book Company, 1929.]
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. 1, изд. 2-е, перераб. и доп. М.: Наука, 1976. 320 с.: ил.
• Яглом И. М. Окружности // Энциклопедия элементарной математики, книга четвёртая — геометрия / Гл. ред. П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин. Ред. книги 4: В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. М.: Физматгиз, 1963. 568 с., ил. С. 448—517.
• Яглом И. М., Атанасян Л. С. Геометрические преобразования // Энциклопедия элементарной математики, книга четвёртая — геометрия / Гл. ред. П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин. Ред. книги 4: В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. М.: Физматгиз, 1963. 568 с., ил. С. 49—158.
• Tristan Needham. Visual Complex Analysis. New York: Oxford University Press Inc., 2000. 592 p. ISBN 0 19 853447 7 (Hbk). ISBN 0 19 853446 9 (Pbk). [Тристан Нидхем. Визуальный комплексный анализ. Нью-йорк: Издательство Оксфордского университета, 2000. 592 с., ил.]