Круги Эйлера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Пример кругов Эйлера. Буквами обозначены, например, свойства:  — живое существо,  — человек,  — неживая вещь

Круги́ Э́йлера[1] — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Изобретены Леонардом Эйлером. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях.

Важный частный случай кругов Эйлера — диаграммы Эйлера — Венна, изображающие все комбинаций свойств, то есть конечную булеву алгебру. При диаграмма Эйлера — Венна обычно изображается в виде трёх кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.

При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов. Однако этим методом ещё до Эйлера пользовался выдающийся немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц. Лейбниц использовал их для геометрической интерпретации логических связей между понятиями, но при этом всё же предпочитал использовать линейные схемы.[2]

Пример получения произвольных кругов Эйлера из диаграмм Венна с пустыми (чёрными) множествами

Но достаточно основательно развил этот метод сам Л. Эйлер. Методом кругов Эйлера пользовался и немецкий математик Эрнст Шрёдер в книге «Алгебра логики». Особенного расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна, подробно изложившего их в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году. Поэтому такие схемы иногда называют Диаграммы Эйлера — Венна.


Связь диаграмм Эйлера и Венна[править | править вики-текст]

22 (из 256) существенно различных диаграмм Венна с 3 кругами (сверху) и соответствующие им диаграммы Эйлера (снизу)
Некоторые из диаграмм Эйлера не типичны, а некоторые даже эквивалентны диаграммам Венна. Черные области указывают на то, что в них нет элементов (пустые множества).

На рисунке справа внизу даны 22 (из 256) существенно различных диаграмм Венна с 3 кругами (сверху) и соответствующие им диаграммы Эйлера (снизу). Пояснения см. на рисунке.

Различие диаграмм Венна и Эйлера[править | править вики-текст]

На рис. ниже даны диаграммы Венна и Эйлера для 3 множеств однозначных натуральных чисел:

Приложения (иллюстрация из естествознания)[править | править вики-текст]

Диаграмма Эйлера, иллюстрирующая тот факт, что множество "животных с 4 конечностями" ("animals with four legs"), не пересекается с множеством "минералов" ("minerals"), ибо у них нет общих элементов, и является подмножеством множества всех "животных" ("animals")

На рисунке справа снизу дана Диаграмма Эйлера, иллюстрирующая тот факт, что множество множество "животных с 4 конечностями" ("animals with four legs"), не пересекается с множеством "минералов" ("minerals"), ибо у них нет общих элементов, и является подмножеством множества всех "животных" ("animals"). Пояснения на рисунке.

Приложения (иллюстрация из геометрии)[править | править вики-текст]

В статье Треугольник. Иллюстрации к разделу дана Диаграмма Эйлера для разных типов треугольников.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. «Круги…» — это условный термин, вместо кругов могут быть любые многомерные фигуры, иерархически расположенные в пространстве, то есть одни фигуры поглощают либо часть других фигур, либо полностью.
  2. Leibniz G. W. Opuscules et fragments inédits de Leibniz. — Paris, 1903. — p. 293—321.