Трисекция угла

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Трисекция угла — задача о делении заданного угла на три равные части построением циркулем и линейкой. Иначе говоря, необходимо построить трисектрисы угла — лучи, делящие угол на три равные части.

Наряду с задачами о квадратуре круга и удвоении куба является одной из классических неразрешимых задач на построение, известных со времён Древней Греции.

Невозможность построения была доказана Ванцелем в 1837 году. Несмотря на это, в прессе время от времени публикуются некоторые неверные способы осуществления трисекции угла циркулем и линейкой[1][2][3].

Невозможность построения[править | править вики-текст]

П. Л. Ванцель доказал в 1837 году, что трисекция угла \alpha разрешима только тогда, когда уравнение

x^3-3x-2\cos \alpha = 0.

разрешимо в квадратных радикалах.

Например,

  • Трисекция осуществима для углов вида {360^\circ \over n}, если целое число n не делится на 3.
  • Трисекция острого угла прямоугольного треугольника с целыми сторонами осуществима тогда и только тогда, когда гипотенуза является кубом целого числа[4].

Построения с помощью дополнительных средств[править | править вики-текст]

Трисекция угла при помощи невсиса[править | править вики-текст]

Рис. 1. Трисекция угла с помощью невсиса
Рис. 2. Трисекция угла (доказательство)

Следующее построение с помощью невсиса предложено Архимедом.

Предположим, что имеется угол \alpha = POM (рис. 1). Необходимо построить угол \beta, величина которого втрое меньше данного: \alpha=3\beta.

Продолжим сторону OM исходного угла и построим на ней как на диаметре окружность произвольного радиуса a с центром в точке O. Стороны угла пересекаются с окружностью в точках P и M. Возьмём линейку невсиса, отложив на ней диастему a, и используя прямую OM в качестве направляющей, точку P в качестве полюса, а полуокружность в качестве целевой линии, строим отрезок AB. Получим угол PAM, равный одной трети исходного угла \alpha.

Доказательство

Рассмотрим треугольник ABO (рис. 2). Так как AB = BO = a, то треугольник равнобедренный, и углы при его основании равны:  \angle BAO =  \angle BOA = \beta . Угол \angle PBO как внешний угол треугольника ABO равен 2\beta.

Треугольник BPO также равнобедренный, углы при его основании равны 2\beta, а угол при вершине \gamma = 180^{\circ}-4 \beta. С другой стороны, \gamma = 180^{\circ}- \beta - \alpha. Следовательно,180^{\circ}-4 \beta = 180^{\circ} - \beta - \alpha, а значит, \alpha=3\beta.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. С. Кудряшов Задача Евклида // Газета «Труд». — 2002. — № 073.
  2. Н. А. Доллежаль Трисекция угла // Наука и жизнь. — 1998. — № 3.
  3. К. Попов Трисекция угла // Юный Техник. — 1994. — № 12. — С. 62-64.
  4. Chang, Wen D.; Gordon, Russell A. Trisecting angles in Pythagorean triangles. Amer. Math. Monthly 121 (2014), no. 7, 625–631.
  5. Три знаменитые задачи древности, 1963, с. 33—45..

Литература[править | править вики-текст]