Уравнение Бюргерса

Уравнением Бюргерса называют уравнение в частных производных. Это уравнение известно в различных областях прикладной математики. Уравнение названо в честь Иоганна Мартинуса Бюргерса (1895—1981). Является частным случаем уравнений Навье — Стокса в одномерном случае.

В гидродинамике уравнение вводится так: пусть задана скорость течения жидкости u и её кинематическая вязкость $\nu$. Тогда в общем виде уравнение Бюргерса записывается так:

${\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$.

Если влиянием вязкости можно пренебречь, то есть $\nu =0$, уравнение приобретает вид:

${\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=0$.

В этом случае мы получаем уравнение Хопфа — квазилинейное уравнение переноса — простейшее уравнение, описывающее разрывные течения или течения с ударными волнами.

Если $\nu$ вещественно и не равно $0$, уравнение сводится к случаю $\nu =1$ : для $\nu <0$ нужно сначала сделать замену $u\to -u$, $x\to -x$, и для любого знака $\nu$: $u\to {\sqrt {|\nu |}}\,u$, $x\to {\sqrt {|\nu |}}\,x$ .

Уравнение Бюргерса можно линеаризовать преобразованием Хопфа-Коула. Для этого (при $\nu =1$) нужно сделать замену функции:

$u={\frac {\partial \ln w}{\partial x}}=w_{x}/w$ .

При этом решения уравнения Бюргерса сводятся к положительным решениям линейного уравнения теплопроводности:

$u(x,t)=2{\frac {\partial }{\partial x}}\ln {\Bigl \{}(4\pi t)^{-1/2}\int _{-\infty }^{\infty }\exp {\Bigl [}-{\frac {(x-x')^{2}}{4t}}-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{x'}u(x'',0)dx''{\Bigr ]}dx'{\Bigr \}}.$

См. также

• Уравнение Курамото-Сивашински

Литература

Дж. Уизем Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. 624 с.

Ссылки

• Burgers' Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.