Гиперсфера: различия между версиями
[непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Trilelea (обсуждение | вклад) ещё ёфикация |
Arbnos (обсуждение | вклад) м Дoбaвлeнa Категория:Сферы с помощью HotCat, викификация |
||
Строка 40: | Строка 40: | ||
[[Файл:Sphere area in n dimensions.svg|thumb|right|350px|[[Площадь поверхности]] гиперсферы размерности x единичного радиуса в зависимости от x.]] |
[[Файл:Sphere area in n dimensions.svg|thumb|right|350px|[[Площадь поверхности]] гиперсферы размерности x единичного радиуса в зависимости от x.]] |
||
[[Файл:Ball volume in n dimensions.svg|thumb|right|350px|Объем гипершара размерности x единичного радиуса в зависимости от x.]] |
[[Файл:Ball volume in n dimensions.svg|thumb|right|350px|Объем гипершара размерности x единичного радиуса в зависимости от x.]] |
||
Площадь поверхности <math>~S_{n-1}</math> гиперсферы размерности <math>~n-1</math> и объём <math>~V_n</math>, ограниченный ею (объём [[Шар (стереометрия)|шара]]), можно рассчитать по формулам |
Площадь поверхности <math>~S_{n-1}</math> гиперсферы размерности <math>~n-1</math> и объём <math>~V_n</math>, ограниченный ею (объём [[Шар (стереометрия)|шара]]), можно рассчитать по формулам<ref>Виноградов И. М. Математическая энциклопедия. — {{М}}: Наука, 1977, — т.5, с. 287, статья «Сфера» — формула объёма n-мерной сферы</ref> |
||
<ref>Л. |
<ref>Л. А. Максимов, А. В. Михеенков, И. Я. Полищук. Лекции по статистической физике. Долгопрудный, 2011. — с. 35, вывод формулы объёма n-мерной сферы через [[Гауссов интеграл|интеграл Эйлера-Пуассона-Гаусса]]</ref>: |
||
: <math>~ S_{n-1} = n C_n R^{n-1}</math> |
: <math>~ S_{n-1} = n C_n R^{n-1}</math> |
||
<br /> |
<br /> |
||
Строка 83: | Строка 83: | ||
! Десятичная |
! Десятичная |
||
запись |
запись |
||
| 6.2832 || 12.5664 || 19.7392 || 26.3189 || 31.0063 || 33.0734 || 32.4697 || 29.6866 |
| 6.2832 || 12.5664 || 19.7392 || 26.3189 || 31.0063 || 33.0734 || 32.4697 || 29.6866 |
||
|- |
|- |
||
! Единичный |
! Единичный |
||
Строка 118: | Строка 118: | ||
[[Категория:Евклидова геометрия]] |
[[Категория:Евклидова геометрия]] |
||
[[Категория:Многомерная евклидова геометрия]] |
[[Категория:Многомерная евклидова геометрия]] |
||
[[Категория:Сферы]] |
Версия от 21:23, 7 июля 2013
Гиперсфера — гиперповерхность в -мерном евклидовом пространстве, образованная точками равноудалёнными от заданной точки, называемой центром сферы.
- при гиперсфера вырождается в две точки, равноудалённые от центра;
- при она представляет собой окружность;
- при гиперсфера является сферой.
- при гиперсфера является 3-сферой.
Расстояние от центра гиперсферы до её поверхности называется радиусом гиперсферы. Гиперсфера является -мерным подмногообразием в -мерном пространстве, все нормали к которому пересекаются в её центре.
Уравнения
Гиперсфера радиуса с центром в точке задаётся как геометрическое место точек, удовлетворяющих условию:
Гиперсферические координаты
Как известно, полярные координаты описываются следующим образом:
а сферические координаты так:
n-мерный шар можно параметризовать следующим набором гиперсферических координат:
Якобиан этого преобразования равен
Площадь и объём
Площадь поверхности гиперсферы размерности и объём , ограниченный ею (объём шара), можно рассчитать по формулам[1] [2]:
где
а — гамма-функция. Этому выражению можно придать другой вид:
Здесь — двойной факториал.
Так как
то объёмы шаров удовлетворяют рекуррентному соотношению
Следующая таблица показывает, что единичные сфера и объём принимают экстремальный размер для и соответственно.
Размерность | 1 (длина) | 2 (площадь) | 3 (объём) | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Единичная
сфера |
||||||||
Десятичная
запись |
6.2832 | 12.5664 | 19.7392 | 26.3189 | 31.0063 | 33.0734 | 32.4697 | 29.6866 |
Единичный
шар |
||||||||
Десятичная
запись |
2.0000 | 3.1416 | 4.1888 | 4.9348 | 5.2638 | 5.1677 | 4.7248 | 4.0587 |
Топология гиперсферы
В данном разделе под сферой будем понимать n-мерную гиперсферу, под шаром — n-мерный гипершар, то есть , .
- Сфера гомеоморфна факторизации шара по его границе.
- Шар гомеоморфен факторизации .
- Сфера является клеточным пространством. Простейшее клеточное разбиение состоит из двух клеток, гомеоморфных и . Оно получается напрямую из построения сферы как факторпространства замкнутого шара. Клеточное разбиение также можно построить по индукции, разбивая вдоль экватора на две n-мерные клетки, гомеоморфные , и сферу , являющуюся их общей границей.
Примечания
- ↑ Виноградов И. М. Математическая энциклопедия. — М.: Наука, 1977, — т.5, с. 287, статья «Сфера» — формула объёма n-мерной сферы
- ↑ Л. А. Максимов, А. В. Михеенков, И. Я. Полищук. Лекции по статистической физике. Долгопрудный, 2011. — с. 35, вывод формулы объёма n-мерной сферы через интеграл Эйлера-Пуассона-Гаусса
См. также
Ссылки
- Гиперсфера (проект d’Amateur). Программы моделирования аппроксимации четырёхмерной гиперсферы и меридианов
- Тренажер для развития воображения гиперсферы: кубик Рубика в 4 и более измерениях
Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её. |