Гиперсфера: различия между версиями
[непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Строка 38: | Строка 38: | ||
[[Файл:Sphere area in n dimensions.svg|thumb|right|350px|[[Площадь поверхности]] гиперсферы размерности x единичного радиуса в зависимости от x.]] |
[[Файл:Sphere area in n dimensions.svg|thumb|right|350px|[[Площадь поверхности]] гиперсферы размерности x единичного радиуса в зависимости от x.]] |
||
[[Файл:Ball volume in n dimensions.svg|thumb|right|350px|Объём гипершара размерности x единичного радиуса в зависимости от x.]] |
[[Файл:Ball volume in n dimensions.svg|thumb|right|350px|Объём гипершара размерности x единичного радиуса в зависимости от x.]] |
||
В <math>n</math>-[[Размерность пространства|мерном]] [[Евклидово пространство|евклидовом пространстве]] площадь поверхности <math>S_{n-1}</math> гиперсферы размерности <math>n</math> и объём <math>V_n</math>, ограниченный ею ([[Объем_n-мерного_шара|объём n-мерного шара]]), можно рассчитать по формулам<ref>Виноградов И. М. Математическая энциклопедия. — {{М}}: Наука, 1977, — т. 5, с. 287, статья «Сфера» — формула объёма n-мерной сферы</ref><ref>Л. А. Максимов, А. В. Михеенков, И. Я. Полищук. Лекции по статистической физике. Долгопрудный, 2011. — с. 35, вывод формулы объёма n-мерной сферы через [[Гауссов интеграл|интеграл Эйлера-Пуассона-Гаусса]]</ref>: |
|||
: <math>S_{n-1} = n C_n R^{n-1}</math> |
: <math>S_{n-1} = n C_n R^{n-1}</math> |
||
: <math> V_n = C_n R^n \ </math> |
: <math> V_n = C_n R^n \ </math> |
||
Строка 74: | Строка 74: | ||
|- |
|- |
||
! Единичная |
! Единичная |
||
сфера |
сфера (<math>S_{n}</math>) |
||
| <math> 2 \pi </math> || <math> 4 \pi </math> || <math> 2 \pi^2 </math> || <math> \frac{8}{3} \pi^2 </math> || <math> \pi^3 </math> || <math> \frac{16}{15} \pi^3 </math> || <math> \frac{1}{3} \pi^4 </math> || <math> \frac{32}{105} \pi^4 </math> |
| <math> 2 \pi </math> || <math> 4 \pi </math> || <math> 2 \pi^2 </math> || <math> \frac{8}{3} \pi^2 </math> || <math> \pi^3 </math> || <math> \frac{16}{15} \pi^3 </math> || <math> \frac{1}{3} \pi^4 </math> || <math> \frac{32}{105} \pi^4 </math> |
||
|- |
|- |
||
Строка 82: | Строка 82: | ||
|- |
|- |
||
! Единичный |
! Единичный |
||
шар |
шар (<math>V_{n}</math>) |
||
| <math> 2 </math> || <math> \pi </math> || <math> \frac{4}{3} \pi </math> || <math> \frac{1}{2} \pi^2 </math> || <math> \frac{8}{15} \pi^2 </math> || <math> \frac{1}{6} \pi^3 </math> || <math> \frac{16}{105} \pi^3 </math> || <math> \frac{1}{24} \pi^4 </math> |
| <math> 2 </math> || <math> \pi </math> || <math> \frac{4}{3} \pi </math> || <math> \frac{1}{2} \pi^2 </math> || <math> \frac{8}{15} \pi^2 </math> || <math> \frac{1}{6} \pi^3 </math> || <math> \frac{16}{105} \pi^3 </math> || <math> \frac{1}{24} \pi^4 </math> |
||
|- |
|- |
Версия от 20:32, 17 ноября 2017
Гиперсфера {от др.-греч. ὑπερ- «сверх-» + σφαῖρα «шар») — гиперповерхность в -мерном евклидовом пространстве, образованная точками, равноудалёнными от заданной точки, называемой центром сферы.
- при гиперсфера вырождается в две точки, равноудалённые от центра;
- при она представляет собой окружность;
- при гиперсфера является сферой.
- при гиперсфера является 3-сферой.
Расстояние от центра гиперсферы до её поверхности называется радиусом гиперсферы. Гиперсфера является -мерным подмногообразием в -мерном пространстве, все нормали к которому пересекаются в её центре.
Уравнения
Гиперсфера радиуса с центром в точке задаётся как геометрическое место точек, удовлетворяющих условию:
Гиперсферические координаты
Как известно, полярные координаты описываются следующим образом:
а сферические координаты так:
n-мерный шар можно параметризовать следующим набором гиперсферических координат:
Якобиан этого преобразования равен
Площадь и объём
В -мерном евклидовом пространстве площадь поверхности гиперсферы размерности и объём , ограниченный ею (объём n-мерного шара), можно рассчитать по формулам[1][2]:
где
а — гамма-функция. Этому выражению можно придать другой вид:
Здесь — двойной факториал.
Так как
то объёмы шаров удовлетворяют рекуррентному соотношению
Следующая таблица показывает, что единичные сфера и шар принимают экстремальный объём для и , соответственно.
Размерность | 1 (длина) | 2 (площадь) | 3 (объём) | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Единичная
сфера () |
||||||||
Десятичная
запись |
6.2832 | 12.5664 | 19.7392 | 26.3189 | 31.0063 | 33.0734 | 32.4697 | 29.6866 |
Единичный
шар () |
||||||||
Десятичная
запись |
2.0000 | 3.1416 | 4.1888 | 4.9348 | 5.2638 | 5.1677 | 4.7248 | 4.0587 |
Обратите внимание, что в строке "размерность" таблицы содержится размерность поверхности геометрической фигуры, а не размерность пространства, в котором она находится.Следует отметить, что отношение объема n-мерного шара к объему описанного вокруг него n-куба быстро уменьшается с ростом n, быстрее, чем 2 в степени n.
Топология гиперсферы
В данном разделе под сферой будем понимать n-мерную гиперсферу, под шаром — n-мерный гипершар, то есть , .
- Сфера гомеоморфна факторизации шара по его границе.
- Шар гомеоморфен факторизации .
- Сфера является клеточным пространством. Простейшее клеточное разбиение состоит из двух клеток, гомеоморфных и . Оно получается напрямую из построения сферы как факторпространства замкнутого шара. Клеточное разбиение также можно построить по индукции, разбивая вдоль экватора на две n-мерные клетки, гомеоморфные , и сферу , являющуюся их общей границей.
Примечания
- ↑ Виноградов И. М. Математическая энциклопедия. — М.: Наука, 1977, — т. 5, с. 287, статья «Сфера» — формула объёма n-мерной сферы
- ↑ Л. А. Максимов, А. В. Михеенков, И. Я. Полищук. Лекции по статистической физике. Долгопрудный, 2011. — с. 35, вывод формулы объёма n-мерной сферы через интеграл Эйлера-Пуассона-Гаусса