Таблица математических символов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Эта страница — глоссарий.

В математике повсеместно используются символы для упрощения и сокращения текста. Ниже приведён список наиболее часто встречающихся математических обозначений, соответствующие команды в TeX, объяснения и примеры использования.

Кроме указанных символов, иногда используются их зеркальные отражения, например, A \subset B обозначает то же, что и B \supset A.

Знаки операций, или математические символы — знаки, которые символизируют определённые математические действия со своими аргументами.

К самым распространённым относятся:

Символ (TeX) Символ (Юникод) Название Значение Пример
Произношение
Раздел математики
\Rightarrow \!\,

\rightarrow \!\,

\supset \!\,




Импликация, следование A \Rightarrow B\, означает «если A верно, то B также верно».
(→ может использоваться вместоили для обозначения функции, см. ниже.)
(⊃ может использоваться вместо, или для обозначения надмножества, см. ниже.).
x = 2 \Rightarrow x^2 = 4\, верно, но x^2 = 4 \Rightarrow x = 2\, неверно (так как x=-2 также является решением).
«влечёт» или «если…, то»
везде
\Leftrightarrow Равносильность A \Leftrightarrow B означает «A верно тогда и только тогда, когда B верно». x + 5 = y + 2 \Leftrightarrow x + 3 = y\,
«если и только если» или «равносильно»
везде
\wedge Конъюнкция A \wedge B истинно тогда и только тогда, когда A и B оба истинны. (n>2)\wedge (n<4)\Leftrightarrow (n=3), если n — натуральное число.
«и»
Математическая логика
\vee Дизъюнкция A\vee B истинно, когда хотя бы одно из условий A и B истинно. (n\leqslant 2)\vee (n\geqslant 4)\Leftrightarrow n\ne 3, если n — натуральное число.
«или»
Математическая логика
\neg ¬ Отрицание \neg A истинно тогда и только тогда, когда ложно A. \neg (A\wedge B)\Leftrightarrow (\neg A)\vee (\neg B)
x\notin S\Leftrightarrow \neg(x\in S)
«не»
Математическая логика
\forall Квантор всеобщности \forall x, P\left( x \right) обозначает «P\left( x \right) верно для всех x». \forall n\in \mathbb N,\;n^2\geqslant n
«Для любых», «Для всех», «Для всякого»
Математическая логика
\exists Квантор существования \exists x,\;P\left( x \right) означает «существует хотя бы один x такой, что верно P\left( x \right)» \exists n\in \mathbb N,\;n+5=2n (подходит число 5)
«существует»
Математическая логика
=\, = Равенство x=y обозначает «x и y обозначают одно и то же значение». 1 + 2 = 6 − 3
«равно»
везде
:=

:\Leftrightarrow

\stackrel{\rm{def}}{=}
 :=

:⇔
Определение x := y означает «x по определению равен y».
P :\Leftrightarrow Q означает «P по определению равносильно Q»
{\rm ch} \left( x \right) := {1\over 2}\left(e^x+e^{-x}\right) (определение гиперболического косинуса)
A \oplus B :\Leftrightarrow (A\vee B)\wedge \neg (A\wedge B) (определение исключающего «ИЛИ»)
«равно/равносильно по определению»
везде
\{ ,\} { , } Множество элементов \{a,\;b,\;c\} означает множество, элементами которого являются a, b и c. \mathbb N = \{1,\;2,\;\ldots \} (множество натуральных чисел)
«Множество…»
Теория множеств
\{ | \}

\{ : \}
{ | }

{ : }
Множество элементов, удовлетворяющих условию \{x\,|\,P\left( x \right)\} означает множество всех x таких, что верно P\left( x \right). \{n\in \mathbb N\,|\,n^2<20\} = \{1,\;2,\;3,\;4\}
«Множество всех… таких, что верно…»
Теория множеств
\varnothing

\{\}


{}
Пустое множество \{\} и \varnothing означают множество, не содержащее ни одного элемента. \{n\in \mathbb N\,|\,1<n^2<4\} = \varnothing
«Пустое множество»
Теория множеств
\in

\notin


Принадлежность/непринадлежность к множеству a\in S означает «a является элементом множества S»
a\notin S означает «a не является элементом множества S»
2\in \mathbb N
{1\over 2}\notin \mathbb N
«принадлежит», «из»
«не принадлежит»
Теория множеств
\subseteq

\subset


Подмножество A\subseteq B означает «каждый элемент из A также является элементом из B».
A\subset B обычно означает то же, что и A\subseteq B. Однако некоторые авторы используют \subset, чтобы показать строгое включение (то есть \subsetneq).
(A\cap B) \subseteq A
\mathbb Q\subseteq \mathbb R
«является подмножеством», «включено в»
Теория множеств
\supseteq \!\,

\supset \!\,


Надмножество A\supseteq B означает «каждый элемент из B также является элементом из A».
A\supset B обычно означает то же, что и A\supseteq B. Однако некоторые авторы используют \supset, чтобы показать строгое включение (то есть \supsetneq).
(A\cup B) \supseteq A
\mathbb R\supseteq \mathbb Q
«является надмножеством», «включает в себя»
Теория множеств
\subsetneq Собственное подмножество A\subsetneq B означает A\subseteq B и A\ne B. \mathbb N\subsetneq \mathbb Q
«является собственным подмножеством», «строго включается в»
Теория множеств
\supsetneq Собственное надмножество A\supsetneq B означает A\supseteq B и A\ne B. \mathbb Q\supsetneq \mathbb N
«является собственным надмножеством», «строго включает в себя»
Теория множеств
\cup Объединение A\cup B означает множество элементов, принадлежащих A или B (или обоим сразу). A\subseteq B\Leftrightarrow A\cup B=B
«Объединение … и …», «…, объединённое с …»
Теория множеств
\cap Пересечение A\cap B означает множество элементов, принадлежащих и A, и B. \{x\in \R\,|\,x^2=1\}\cap \mathbb N = \{1\}
"Пересечение … и … ", «…, пересечённое с …»
Теория множеств
\setminus \ Разность множеств A\setminus B означает множество элементов, принадлежащих A, но не принадлежащих B. \{1,\;2,\;3,\;4\}\setminus \{3,\;4,\;5,\;6\} = \{1,\;2\}
«разность … и …», «минус», «… без …»
Теория множеств
\to Функция (отображение) f\colon X \to Y означает функцию f с областью определения X и областью значений Y. Функция f\colon \mathbb Z \to \mathbb N\cup{0}, определённая как f\left( x \right)=x^2
«из … в …»,
везде
\mapsto Отображение f\colon x \mapsto f\left( x \right) означает, что образом x после применения функции f будет f\left( x \right). Функцию, определённую как f\left( x \right)=x^2, можно записать так: f\colon x \mapsto x^2
«отображается в»
везде
\mathbb N N или ℕ Натуральные числа \mathbb N означает множество \{1,\;2,\;3,\;\ldots\} или реже \{0,\;1,\;2,\;3,\;\ldots\} (в зависимости от ситуации). \{\left|a\right|\,|\,a\in \mathbb Z\}=\mathbb N
«Эн»
Числа
\mathbb Z Z или ℤ Целые числа \mathbb Z означает множество \{\ldots,\;-3,\;-2,\;-1,\;0,\;1,\;2,\;3,\;\ldots\} \{a,\;-a\,|\,a\in\mathbb N\} \cup \{ 0 \}=\mathbb Z
«Зед»
Числа
\mathbb Q Q или ℚ Рациональные числа \mathbb Q означает \left\{\left.{p\over q} \right| p\in \mathbb Z \wedge q\in \mathbb Z\wedge q\ne 0\right\} 3,\!14\in \mathbb Q
\pi \notin \mathbb Q
«Ку» или «Къю»
Числа
\mathbb R R или ℝ Вещественные (действительные) числа \R означает множество всех пределов последовательностей из \mathbb Q \pi \in \R
i \notin \R (i — мнимая единица: i^2=-1)
«Эр»
Числа
\mathbb C C или ℂ Комплексные числа \mathbb C означает множество \{a+b\cdot i\,|\,a\in \R \wedge b\in \R\} i\in \mathbb C
«Це»
Числа
\mathbb H H или \mathbb H Кватернионы \mathbb H означает множество \{a+b\cdot i\,+c\cdot j\,+d\cdot k\,|\,a\in \R \wedge b\in \R \wedge c\in \R \wedge d\in \R\} i\in \mathbb H
«Аш»
Числа
<\,
>\,
<
>
Сравнение x<y обозначает, что x строго меньше y.
x>y означает, что x строго больше y.
x<y\Leftrightarrow y>x
«меньше чем», «больше чем»
Отношение порядка
\leqslant или \leq
\geqslant или \geq
⩽ или ≤
⩾ или ≥
Сравнение x\leqslant y означает, что x меньше или равен y.
x\geqslant y означает, что x больше или равен y.
x\geqslant 1\Rightarrow x^2\geqslant x
«меньше или равно»; «больше или равно»
Отношение порядка
\approx Приблизительное равенство e\approx 2,\!718 с точностью до 10−3 означает, что 2,718 отличается от e не больше чем на 10−3. \pi \approx 3,\!1415926 с точностью до 10−7.
«приблизительно равно»
Числа
\sqrt{ } Арифметический квадратный корень \sqrt x означает неотрицательное действительное число, которое в квадрате даёт x. \sqrt 4=2
\sqrt {x^2}= \left|x\right|
«Корень квадратный из …»
Числа
\infty Бесконечность +\infty и -\infty суть элементы расширенного множества действительных чисел. Эти символы обозначают числа, меньшее/большее всех действительных чисел. \lim\limits_{x\to 0} {1\over \left|x\right|}= \infty
«Плюс/минус бесконечность»
Числа
\left|\;\right| | | Абсолютная величина (абсолютное значение, модуль) числа, или мощность множества \left|x\right| обозначает абсолютную величину x.
|A| обозначает мощность множества A и равняется, если A конечно, числу элементов A.
\left|a+b\cdot i\right|=\sqrt {a^2+b^2}
«Модуль»; «Мощность»
Числа и Теория множеств
\sum Сумма (набора чисел), сумма ряда \sum_{k=1}^n a_k означает «сумма a_k, где k принимает значения от 1 до n», то есть a_1+a_2+\ldots+a_n.
\sum_{k=1}^{\infty} a_k означает сумму ряда, состоящего из a_k.
\sum_{k=1}^4 k^2=
= 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2
= 30
«Сумма … по … от … до …»
Арифметика, Математический анализ
\prod Произведение \prod_{k=1}^n a_k означает «произведение a_k для всех k от 1 до n», то есть a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_n \prod_{k=1}^4 (k+2)=
=3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=360
«Произведение … по … от … до …»
Арифметика
!  ! Факториал n! означает произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно, то есть 1\cdot 2\cdot\ldots\cdot n n! = \prod_{k=1}^n k = (n-1)!n
0! = 1
5! = 1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5=120
«n факториал»
Комбинаторика
\int dx Интеграл \int\limits_a^b f\left( x \right)\, dx означает «интеграл от a до b функции f от x по переменной x». \int\limits_0^b x^2\, dx = \frac{b^3}{3}
\int x^2\, dx = \frac{x^3}{3} + C
«Интеграл (от … до …) функции … по (или d)…»
Математический анализ
\begin{align}
& \frac{df}{dx} \\
& f'\left( x \right)\, \\
\end{align}
df/dx
f'(x)
Производная \frac{df}{dx} или f'\left( x \right) означает «(первая) производная функции f от x по переменной x». \frac{d \cos x}{dx} = -\sin x
«Производная … по …»
Математический анализ
\frac{\partial f \left( x, y, z, \ldots \right)}{\partial y} ∂f/∂y Частная производная \frac{\partial f \left( x, y, z, \ldots \right)}{\partial y} означает «(первая) частная производная функции f от переменных x, y, z, \ldots по переменной y». \begin{align}
& \frac{\partial}{\partial y} \left( x^2 \cos xy \right) = \\
& = \left. \frac{d}{dy} \left( x^2 \cos xy \right) \right| _{x=const} \\
& = -x^3 \sin xy \\
\end{align}
«Частная производная … по …»
Математический анализ
\begin{align}
& \frac{d^n f}{dx^n} \\
& f^{\left( n \right)} \left( x \right)\, \\
\end{align}
dnf/dxn
f(n)(x)
Производная n-го порядка \frac{d^n f}{dx^n} или f^{\left( n \right)} \left( x \right)~ (во втором случае если n — фиксированное число, то оно пишется римскими цифрами) означает «n-я производная функции f от x по переменной x». \frac{d^4 \cos x}{dx^4} = \cos x
«n-я производная … по …»
Математический анализ

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. Изд. АСТ, 2003, ISBN 5-17-009554-6.

Ссылки[править | править исходный текст]