Простое число Пифагора

Простое число Пифагора — это простое число вида 4n + 1.

Простые числа Пифагора представимы в виде суммы двух квадратов (отсюда и название чисел — по аналогии со знаменитой теоремой Пифагора.)

Несколько первых простых чисел Пифагора:

5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, … последовательность A002144 в OEIS.

Теорема Ферма — Эйлера утверждает, что эти простые могут быть представлены в виде суммы двух квадратов однозначно (с точностью до порядка), и что никакие другие простые числа не могут быть представлены таким образом, за исключением $2=1^{2}+1^{2}$. Все эти простые (включая 2) являются нормой Гауссовых целых чисел, в то время как другие простые таковыми не являются.

Квадратичный закон взаимности утверждает, что если p и q — различные простые нечетные числа, и по крайней мере одно из них пифагорово, то p является квадратичным вычетом по модулю q только тогда, когда q — квадратичный вычет по модулю p; и наоборот, если ни p, ни q не являются пифагоровыми, то p является квадратичным вычетом по модулю q тогда и только тогда, когда q является a квадратным невычетом по модулю p.

В поле Z/p с пифагоровым простым p, уравнение $x^{2}=-1$ имеет два решения.