Вычислимое число

В математике, вычислимое (или рекурсивное) число — это число, которое может быть вычислено с любой заданной точностью с помощью алгоритма (для комплексных чисел должны быть вычислимы и действительная, и мнимая части). Число, не являющееся вычислимым, называется невычислимым. Любое алгебраическое число (а значит, любое рациональное и любое целое число) является вычислимым. Любой элемент кольца периодов (что включает в себя число π и многие другие трансцендентные числа) является вычислимым. Любое вычислимое число является арифметическим.

Множество всех вычислимых чисел является счётным множеством, а множество всех невычислимых чисел — несчётным. Множество всех вычислимых чисел (равно как и множество всех невычислимых чисел) плотно в $\R$ и в $\C.$

Порядок на множестве вычислимых действительных чисел изоморфен порядку на множестве рациональных чисел.

Свойства

• Сумма, разность и произведение вычислимых чисел являются вычислимыми.
• Предел вычислимой последовательности рациональных чисел не обязательно является вычислимым числом (но всегда является 0′-вычислимым (англ.))

См. также

• Степень неразрешимости (англ.)