Бикватернион

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Бикватернионы — комплексификация (расширение) обычных (вещественных) кватернионов.

Определение[править | править вики-текст]

Бикватернионы можно описать как множества чисел вида «w+x*i+y*j+z*k»,   где w, x, y, z — есть те или иные «специальные комплексные числа». Альтернативный способ введения — Процедура Кэли — Диксона: это гиперкомплексные числа вида «a+I*b»,  где a, b — любые кватернионы, а I — «мнимая единица расширения». Известны три разных вида бикватернионов, в зависимости от того, какого типа «комплексные» числа положены в основу этого представления (иначе говоря, каковы свойства расширяемой операции умножения для числа «I»):

История и применения[править | править вики-текст]

Об ординарных бикватернионах написал Гамильтон в 1844г. (см. Труды Ирландской Королевской Академии 1844 и 1850 стр.388). В число наиболее видных сторонников этих бикватернионов следует включить Александра Макфарлейна (en:Alexander Macfarlane), Артура У. Конвея (en:Arthur W. Conway), Людвика Зильберштейна (en:Ludwik Silberstein) и Корнелиуса Ланцоша. Единичная квази-сфера бикватернионов обеспечивает представление группы Лоренца, на которой основана специальная теория относительности.

Двойные кватернионы изучал Клиффорд, Уильям. Дуальные кватернионы инструментально обеспечивают нестандартный анализ обычных кватернионов. Далее, если не оговорено, речь идёт об ординарных бикватернионах.

Свойства[править | править вики-текст]

«Алгебра бикватернионов» есть тензорное произведение алгебр CH (взятое над вещественными числами), где C --- та или иная алгебра комплексных чисел, а H --- алгебра обычных (вещественных) кватернионов. Как C-алгебра бикватернионы изоморфны алгебре комплексных матриц 2x2 M2(C).

...

Матричное представление[править | править вики-текст]

Есть три комплексные матрицы, для которых: \begin{pmatrix}i & 0\\0 & -i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1\\-1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & i\\i & 0\end{pmatrix}.  Притом квадрат каждой из этих матриц есть «минус единичная матрица», а если произведению этих матриц сопоставить произведение чисел i*j = k; j*i = -k. Получаем, что порождаемая этим матрицами подгруппа матричной группы изоморфна группе кватернионов. Следовательно, если сопоставить матрице \begin{pmatrix}u+iv & w+ix\\-w+ix & u-iv\end{pmatrix} бикватернион q == u*1 + v*i + w*j + x*k, то для данной 2×2 комплексной матрицы, всегда существуют комплексные величины u, v, w, x в этой форме. Иначе говоря, кольцо комплексных матриц изоморфно[1] кольцу (ординарных) бикватернионов.

Подалгебры[править | править вики-текст]

При рассмотрении (ординарных) бикватернионов как алгебры над полем вещественных чисел R, набор {1, I, i, Ii, j, Ij, k, Ik} образует базис, эта алгебра имеет вещественную размерность пространства восемь. Притом квадраты всех элементов Ii, Ij, Ik =«+1». Значит, вещественная подалгебра, образуемая \lbrace x + y(Ii) : x, y \in R \rbrace изоморфна кольцу, которое образуют двойные числа (с алгебраической структурой аналогичной строящейся над единичной гиперболой). Элементы Ij, Ik определяют такие же подалгебры.

Элементы \lbrace x + yj : x,y \in C \rbrace образуют подалгебру изоморфную бикомплексным числам (tessarine).

Третий вид подалгебры, т.н. «кокватернионы», порождается Ij, Ik, т.к. вещественное линейное подпространство с базисом {1, i, Ij, Ik} замкнуто по умножению (ведь Ij*Ik=-i). Указанный базис образует диэдрическую группу квадрата, а кокватернионы изоморфны алгебре вещественных матриц 2х2.

Квантовая механика и спинорная алгебра, трактуют бикватернионы Ii, Ij, Ik (или их отрицание), рассматривая их в преставлении M(2,C), как матрицы Паули.

Ссылки[править | править вики-текст]

  1. en:Leonard Dickson (1914) Linear Algebras, §13 "Equivalence of the complex quaternion and matric algebras", p.13
  • Бикватернионы (ординарные) — популярное изложение
  • Vladislav V Kravchenko Applied Quaternionic Analysis. Heldermann 2003, — 134p. ISBN: 3-88538-228-88 (см.)

См. также[править | править вики-текст]