Простые числа Хиггса

Простым числом Хиггса называется простое число, значение функции Эйлера (для простого она равна этому числу минус единица) делит квадрат произведения меньших чисел Хиггса без остатка. (Можно обобщить на кубы, четвёртую степень, и т.д.) В алгебраической записи – для заданного показателя a простое число Хиггса Hp_n удовлетворяет условию

$\phi(Hp_n)|\prod_{i = 1}^{n - 1} {Hp_i}^a\mbox{ and }Hp_n > Hp_{n - 1}$

где Φ(x) – функция Эйлера.

Несколько первых простых Хиггса для показателя 2

2, 3, 5, 7, 11, 13, 19, 23, 29, 31, 37, 43, 47, ... последовательность A007459 в OEIS.

Число 13, например, является простым Хиггса, поскольку квадрат произведения меньших чисел Хиггса равен 5336100, и при делении на 12 получим 444675. Однако число 17 не является простым Хиггса, поскольку квадрат произведения меньших чисел Хиггса равен 901800900, и при делении его на 16 получим остаток 4.

Ниже приведён список некоторых простых чисел, не являющихся простыми Хиггса для степеней от 2 до 7

Показатель	75-ое простое Хиггса	Числа, меньшие 75-го числа и не являющиеся простыми Хиггса
2	827	17, 41, 73, 83, 89, 97, 103, 109, 113, 137, 163, 167, 179, 193, 227, 233, 239, 241, 251, 257, 271, 281, 293, 307, 313, 337, 353, 359, 379, 389, 401, 409, 433, 439, 443, 449, 457, 467, 479, 487, 499, 503, 521, 541, 563, 569, 577, 587, 593, 601, 613, 617, 619, 641, 647, 653, 673, 719, 739, 751, 757, 761, 769, 773, 809, 811, 821, 823
3	521	17, 97, 103, 113, 137, 163, 193, 227, 239, 241, 257, 307, 337, 353, 389, 401, 409, 433, 443, 449, 479, 487
4	419	97, 193, 257, 353, 389
5	397	193, 257
6	389	257
7	389	257

Дальнейшие исследования показывают, что числа Ферма $2^{2^n} + 1$ не могут быть простыми Хиггса для показателя a, если a меньше 2ⁿ.

Неизвестно, имеется ли бесконечно много простых чисел Хиггса для произвольного показателя a большего 1. Для a = 1 ситуация совершенно другая – имеется только четыре таких числа 2, 3, 7 и 43 (последовательность подозрительно похожа на последовательность Сильвестера). Баррис (Burris) и Ли (Lee) в 1993 году обнаружили, что около половины простых чисел меньших миллиона являются простыми Хиггса, откуда они сделали вывод, что даже если число простых Хиггса для показателя 2 и конечно, "перебрать их все с помощью компьютера нереально."

Ссылки [править]

Burris, S. (1993). «Tarski's high school identities». Amer. Math. Monthly 100 (3): 231–236 [p. 233].
Sloane N. The Encyclopedia of Integer Sequences. — New York: Academic Press, 1995. — ISBN 0-12-558630-2 M0660