Однородное пространство

Тор. Стандартный тор является однородным по группам его диффеоморфизмов и гомеоморфизмов, а плоский тор однороден по его группам диффеоморфизмов, гомеоморфизмов и изометрий.

Однородное пространство для группы G — это не пустое многообразие или топологическое пространство X, на котором группа G действует транзитивно. Элементы группы G называются точками однородного пространства и симметриями пространства X, а сама группа G называется группой движений или основной группой однородного пространства. Специальным случаем является случай, когда рассматриваемая группа G является группой автоморфизмов пространства X — здесь «группа автоморфизмов» может означать группу изометрий, группу диффеоморфизмов или группу гомеоморфизмов. В этом случае X однородно, если интуитивно X выглядит локально таким же в каждой точке, будь то в смысле изометрии (геометрии жёсткого тела), диффеоморфизма (дифференциальной геометрии) или гомеоморфизма (топологии). Некоторые авторы настаивают, чтобы действие группы G было строгим (неединичные элементы действовали нетривиально), хотя в данной статье это не предполагается. Тогда существует действие группы G на X, которое можно рассматривать как сохраняющее некоторую «геометрическую структуру» на X и создающую на X единственную G-орбиту.

Формальное определение

Пусть X будет не пустым множеством, а G группой. Тогда X называется G-пространством, если оно снабжено действием группы G на X. Заметим, что G действует посредством автоморфизмов (биективных) на множестве. Если X, кроме того, принадлежит некоторой категории, тогда элементы группы G предполагаются действующими как автоморфизмы в той же категории. Тогда отображения на X, на которые действует G, сохраняют структуру. Однородное пространство является G-пространством, на котором G действует транзитивно.

Кратко, если X является объектом категории C, то структура G-пространства является гомоморфизмом

$\rho :G\to \mathrm {Aut} _{\mathbf {C} }(X)$

в группу автоморфизмов объекта X в категории C. Пара $(X,\rho )$ определяет однородное пространство, при условии, что $\rho (G)$ является транзитивной группой симметрий на множестве X.

Примеры

Например, если X является топологическим пространством, то элементы группы предполагаются действующими как гомеоморфизмы на X. Структура G-пространства является гомоморфизмом группы $\rho \colon G\to \mathrm {Homeo} (X)$ в группу гомеоморфизмов пространства X.

Аналогично, если X является гладким многообразием, то элементы группы являются диффеоморфизмами. Структура G-пространства является гомоморфизмом группы $\rho \colon G\to \mathrm {Diffeo} (X)$ в группу диффеоморфизмов многообразия X.

Римановы симметрические пространства являются важным классом однородных пространств и включают многие из примеров ниже.

Конкретные примеры:

Группы изометрий

• Положительная кривизна:

1. Сфера (ортогональная группа): $S^{n-1}\cong \mathrm {O} (n)/\mathrm {O} (n-1)$. Это верно вследствие следующего наблюдения. Во-первых, $S^{n-1}$ является множеством векторов в $\mathbb {R} ^{n}$ с нормой $1$. Если мы рассмотрим один из этих векторов, то любой другой вектор может быть построен с помощью ортогонального преобразования. Если мы рассмотрим одномерное подпространство в $\mathbb {R} ^{n}$, натянутое на этот вектор, то дополнением будет $(n-1)$-мерное векторное пространство, которое инвариантно относительно ортогонального преобразования из ${\text{O}}(n-1)$. Это показывает, почему мы можем построить $S^{n-1}$ как однородное пространство.
2. Ориентированная сфера (специальная ортогональная группа): $S^{n-1}\cong \mathrm {SO} (n)/\mathrm {SO} (n-1)$
3. Проективное пространство (проективная ортогональная группа): $\mathrm {P} ^{n-1}\cong \mathrm {PO} (n)/\mathrm {PO} (n-1)$

• Плоское (нулевая кривизна):

1. Евклидово пространство (евклидова группа, точечным стабилизатором является ортогональная группа): $\mathbf {A} ^{n}\cong \mathrm {E} (n)/\mathrm {O} (n)$

• Отрицательная кривизна:

1. Пространство Лобачевского (ортохронная группа Лоренца, точечный стабилизатор ортогональной группы, соответствующий гиперболоидной модели): $\mathbf {H} ^{n}\cong \mathrm {O} ^{+}(1,n)/\mathrm {O} (n)$
2. Ориентированное гиперболическое пространство: $\mathrm {SO} ^{+}(1,n)/\mathrm {SO} (n)$
3. Антидеситтеровское пространство: $\mathrm {AdS} _{n+1}=\mathrm {O} (2,n)/\mathrm {O} (1,n)$

Другие

• Аффинное пространство (для аффинной группы, точечный стабилизатор полной линейной группы): $\mathbf {A} ^{n}=\mathrm {Aff} (n,K)/\mathrm {GL} (n,k)$.
• Грассманиан: $\mathrm {Gr} (r,n)=\mathrm {O} (n)/(\mathrm {O} (r)\times \mathrm {O} (n-r))$
• Топологические векторные пространства (в топологическом смысле)

Геометрия

С точки зрения эрлангенской программы можно считать, что в геометрии X «все точки одинаковы». Это было верно, фактически, для всех геометрий, рассматриваемых до римановой геометрии, предложенной в середине девятнадцатого века.

Так, например, евклидово пространство, аффинное пространство и проективное пространство являются однородными пространствами для их соответствующих групп симметрии. То же самое верно для моделей неевклидовых геометрий постоянной кривизны, таких как гиперболическое пространство.

Дальнейшим классическим примером является пространство прямых в проективном пространстве размерности три (эквивалентно, пространством двумерных подпространств четырёхмерного векторного пространства). Легко показать, что GL₄ действует на нём транзитивно. Мы можем параметризовать это пространство линейными координатами — это 2×2 миноры 4×2 матрицы со столбцами, являющимися базисными векторами подпространства. Геометрия полученного однородного пространства является линейной геометрией Юлиуса Плюккера.

Однородные пространства как пространства сопряжённых классов

В общем случае, если X является однородным пространством, а $H_{o}$ является стабилизатором некоторой помеченной точки o в X (начало координат), точки пространства X соответствуют левым классам сопряжённости $G/H_{o}$, а помеченная точка o соответствует классу сопряжённости единицы. Обратно, если дано пространство классов сопряжённости G/H, оно является однородным пространством для группы G с выделенной точкой, а именно классом сопряжённости единицы. Тогда однородное пространство можно рассматривать как пространство классов сопряжённости без выбора начала координат.

В общем случае различный выбор начала координат o приведёт к фактогруппе группы G по другой подгруппе H_o′, которая связана с H_o посредством внутреннего автоморфизма группы G. В частности,

$H_{o'}=gH_{o}g^{-1}\qquad \qquad (1)$

где g является любым элементом группы G, для которого $go=o'$. Заметим, что внутренний автоморфизм (1) не зависит от выбора g, он зависит только от g по модулю $H_{o}$.

Если действие группы G на X непрерывно, то H является замкнутой подгруппой группы G. В частности, если G является группой Ли, то H будет подгруппой Ли по теореме Картана. Следовательно, G/H является гладким многообразием, а тогда X содержит единственную гладкую структуру, совместимую с действием группы.

Если H является единичной подгруппой {e}, то X является главным однородным пространством.

Можно перейти к пространствам двойных смежных классов, то есть формам Клиффорда — Клейна $\Gamma \backslash G/H$, где Γ является дискретной подгруппой (группы G), действующей вполне разрывно.

Пример

Например, в случае линейной геометрии мы можем отождествить H с 12-мерной подгруппой 16-мерной полной линейной группы, GL(4), определённой условием на шесть элементов матрицы

$h_{13}=h_{14}=h_{23}=h_{24}=0$,

путём нахождения стабилизатора подпространства, натянутого на первых два стандартных базисных вектора. Это показывает, что X имеет размерность 4.

Поскольку однородных координат, задаваемых минорами, насчитывается 6, это означает, что они не независимы друг от друга. Фактически имеется оно квадратичное отношение, которому удовлетворяют эти шесть миноров, что было известно ещё геометрам девятнадцатого века.

Это пример был первым известным примером грассманиана, отличного от проективного пространства. Имеется много других однородных пространств классических линейных групп, общепринятых в математике.

Предоднородные векторные пространства

Идею предоднородных векторных пространств предложил Микио Сато.

Это конечномерное векторное пространство V с действием алгебраической группы G, такое что существует орбита G, открытая для топологии Зарисского (а потому плотная). Примером является группа GL(1), действующая в одномерном пространстве.

Определение более ограничительное, чем первоначально казалось — такие пространства имеют замечательные свойства и есть классификация неприводимых предоднородных векторных пространств с точностью до преобразования, известного как «рокировка».

Однородные пространства в физике

Физическая космология при рассмотрении общей теории относительности применяет системы классификации Бьянки. Однородные пространства в теории относительности представляют пространственную часть метрик для некоторых космологических моделей. Например, три случая метрики Фридмана — Леметра — Робертсона — Уокера могут быть представлены подмножествами Бьянки I (плоского), V (открытого), VII (плоского или открытого) и IX (замкнутого) типов, в то время как вселенная Миксмастера представляет анизоторопный пример космологии Бьянки IX.

Однородное пространство размерности N допускают множество ${\tfrac {1}{2}}N(N+1)$ векторов Киллинга. Для трёхмерного пространства это даёт шесть линейно независимых векторных полей Киллинга. Однородные 3-пространств имеют свойство, что можно использовать их линейную комбинацию для нахождения нигде не обращающихся в нуль векторных полей Киллинга $\xi _{i}^{(a)}$,

$\xi _{[i;k]}^{(a)}=C_{\ bc}^{a}\xi _{i}^{(b)}\xi _{k}^{(c)}$

где объект $C_{\ bc}^{a}$, «структурная константа», образует постоянный тензор третьего порядка, антисимметричный по его нижним двум индексам (на левой стороне скобки означают антисимметризацию, а «;» представляет оператор ковариантного дифференцирования). В случае плоской изотропной вселенной, одной из возможностей является $C_{\ bc}^{a}=0$ (type I), а в случае замкнутой вселенной Фридмана, $C_{\ bc}^{a}=\varepsilon _{\ bc}^{a}$, где $\varepsilon _{\ bc}^{a}$ является символом Леви-Чивиты.

Вариации и обобщения

• Метрическое пространство $X$ называется $n$-точечно однородным если для любое любое изометрическое отображение $n$-точечно подмножества $K\subset X$ в $X$ можно продолжить до изометрии $X$.
  • Аналогично определяются конечно однородные, счётно однородные, компактно однородные пространства и так далее.

См. также

• Эрлангенская программа
• Геометрия Клейна
• Груда (математика)
• Однородное многообразие