Оператор набла в различных системах координат

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Общее выражение[править | править вики-текст]

Общее выражение для оператора ∇ в произвольной системе ортогональных координат можно записать так:

,

где "" - любой из трех значков, соответствующих действию оператора ∇:

  • " " - градиент;
  • " · " - дивергенция;
  • " × " - ротор.

Элементы в этой записи соответствуют элементам радиус-вектора в соответствующей системе координат:

Иначе говоря, первым действием является взятие частной производной по проекции радиус-вектора от всего вектора (с учетом производных орт в данной системе координат), и лишь потом умножение (простое для градиента, скалярное для дивергенции и векторное для ротора) орта направления на .

При этом достаточно знать выражения:

  • в цилиндрических координатах: и ;
  • в сферических координатах: , , , и .

Например: в приведенной ниже таблице запись дивергенции в цилиндрических координатах получена следующим образом:

Здесь приведён список векторных дифференциальных операторов в некоторых системах координат.

Таблица операторов[править | править вики-текст]

Здесь используются стандартные физические обозначения. Для сферических координат, θ обозначает угол между осью z и радиус-вектором точки, φ — угол между проекцией радиус-вектора на плоскость x-y и осью x.

Запись оператора Гамильтона в различных системах координат
Оператор Прямоугольные координаты
(x, y, z)
Цилиндрические координаты
(ρ, φ, z)
Сферические координаты
(r, θ, φ)
Параболические координаты
(σ, τ, z)
Формулы преобразования координат
Радиус-вектор произвольной точки
Связь единичных векторов
.
Векторное поле
Градиент
Дивергенция
Ротор
Оператор Лапласа
Векторный оператор Лапласа  ?
Элемент длины
Элемент ориентированной площади
Элемент объёма

Некоторые свойства[править | править вики-текст]

Выражения для операторов второго порядка:

  1. (Оператор Лапласа)

(используя формулу Лагранжа для двойного векторного произведения)

См. также[править | править вики-текст]