Гиперсфера: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
→Площадь и объём: оформление |
NapalmBot (обсуждение | вклад) м Удаление принудительных пробелов в формулах по ВП:РДБ. |
||
Строка 13: | Строка 13: | ||
== Уравнения == |
== Уравнения == |
||
Гиперсфера радиуса <math>R</math> с центром в точке <math>a = \left\{a_1, a_2, \dots a_n\right\}</math> задаётся как [[геометрическое место точек]], удовлетворяющих условию: |
Гиперсфера радиуса <math>R</math> с центром в точке <math>a = \left\{a_1, a_2, \dots a_n\right\}</math> задаётся как [[геометрическое место точек]], удовлетворяющих условию: |
||
: <math>(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2 + \cdots + (x_n - a_n)^2 = R^2</math> |
: <math>(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2 + \cdots + (x_n - a_n)^2 = R^2</math> |
||
Строка 40: | Строка 39: | ||
[[Файл:Sphere area in n dimensions.svg|thumb|right|350px|[[Площадь поверхности]] гиперсферы размерности x единичного радиуса в зависимости от x.]] |
[[Файл:Sphere area in n dimensions.svg|thumb|right|350px|[[Площадь поверхности]] гиперсферы размерности x единичного радиуса в зависимости от x.]] |
||
[[Файл:Ball volume in n dimensions.svg|thumb|right|350px|Объем гипершара размерности x единичного радиуса в зависимости от x.]] |
[[Файл:Ball volume in n dimensions.svg|thumb|right|350px|Объем гипершара размерности x единичного радиуса в зависимости от x.]] |
||
Площадь поверхности <math> |
Площадь поверхности <math>S_{n}</math> гиперсферы размерности <math>n</math> и объём <math>V_n</math>, ограниченный ею (объём [[Шар (стереометрия)|шара]]), можно рассчитать по формулам<ref>Виноградов И. М. Математическая энциклопедия. — {{М}}: Наука, 1977, — т. 5, с. 287, статья «Сфера» — формула объёма n-мерной сферы</ref><ref>Л. А. Максимов, А. В. Михеенков, И. Я. Полищук. Лекции по статистической физике. Долгопрудный, 2011. — с. 35, вывод формулы объёма n-мерной сферы через [[Гауссов интеграл|интеграл Эйлера-Пуассона-Гаусса]]</ref>: |
||
: <math> |
: <math>S_{n} = n C_n R^{n-1}</math> |
||
: <math> V_n = C_n R^n \ </math> |
: <math> V_n = C_n R^n \ </math> |
||
Строка 47: | Строка 46: | ||
: <math>C_n = \frac{ \pi^{n/2} }{\Gamma({n\over 2}+1)}</math> |
: <math>C_n = \frac{ \pi^{n/2} }{\Gamma({n\over 2}+1)}</math> |
||
а <math> |
а <math>\Gamma(x)</math> — [[гамма-функция]]. Этому выражению можно придать другой вид: |
||
: <math>C_{2k} = \frac{\pi^k}{k!}</math> |
: <math>C_{2k} = \frac{\pi^k}{k!}</math> |
||
: <math>C_{2k+1} = \frac{2^{k+1}\pi^k}{(2k+1)!!}</math> |
: <math>C_{2k+1} = \frac{2^{k+1}\pi^k}{(2k+1)!!}</math> |
||
Здесь <math> |
Здесь <math>n!!</math> — [[двойной факториал]]. |
||
Так как |
Так как |
||
: <math> |
: <math>V_n / S_{n-1} = R / n</math> |
||
: <math> |
: <math>S_{n+1}/V_n = 2\pi R</math> |
||
то объёмы шаров удовлетворяют рекуррентному соотношению |
то объёмы шаров удовлетворяют рекуррентному соотношению |
Версия от 00:48, 26 июня 2016
Гиперсфера — гиперповерхность в -мерном евклидовом пространстве, образованная точками, равноудалёнными от заданной точки, называемой центром сферы.
- при гиперсфера вырождается в две точки, равноудалённые от центра;
- при она представляет собой окружность;
- при гиперсфера является сферой.
- при гиперсфера является 3-сферой.
Расстояние от центра гиперсферы до её поверхности называется радиусом гиперсферы. Гиперсфера является -мерным подмногообразием в -мерном пространстве, все нормали к которому пересекаются в её центре.
Уравнения
Гиперсфера радиуса с центром в точке задаётся как геометрическое место точек, удовлетворяющих условию:
Гиперсферические координаты
Как известно, полярные координаты описываются следующим образом:
а сферические координаты так:
n-мерный шар можно параметризовать следующим набором гиперсферических координат:
Якобиан этого преобразования равен
Площадь и объём
Площадь поверхности гиперсферы размерности и объём , ограниченный ею (объём шара), можно рассчитать по формулам[1][2]:
где
а — гамма-функция. Этому выражению можно придать другой вид:
Здесь — двойной факториал.
Так как
то объёмы шаров удовлетворяют рекуррентному соотношению
Следующая таблица показывает, что единичные сфера и шар принимают экстремальный объем для и соответственно.
Размерность | 1 (длина) | 2 (площадь) | 3 (объём) | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Единичная
сфера |
||||||||
Десятичная
запись |
6.2832 | 12.5664 | 19.7392 | 26.3189 | 31.0063 | 33.0734 | 32.4697 | 29.6866 |
Единичный
шар |
||||||||
Десятичная
запись |
2.0000 | 3.1416 | 4.1888 | 4.9348 | 5.2638 | 5.1677 | 4.7248 | 4.0587 |
Обратите внимание, что в строке "размерность" таблицы содержится размерность поверхности геометрической фигуры, а не размерность пространства, в котором она находится.
Топология гиперсферы
В данном разделе под сферой будем понимать n-мерную гиперсферу, под шаром — n-мерный гипершар, то есть , .
- Сфера гомеоморфна факторизации шара по его границе.
- Шар гомеоморфен факторизации .
- Сфера является клеточным пространством. Простейшее клеточное разбиение состоит из двух клеток, гомеоморфных и . Оно получается напрямую из построения сферы как факторпространства замкнутого шара. Клеточное разбиение также можно построить по индукции, разбивая вдоль экватора на две n-мерные клетки, гомеоморфные , и сферу , являющуюся их общей границей.
Примечания
- ↑ Виноградов И. М. Математическая энциклопедия. — М.: Наука, 1977, — т. 5, с. 287, статья «Сфера» — формула объёма n-мерной сферы
- ↑ Л. А. Максимов, А. В. Михеенков, И. Я. Полищук. Лекции по статистической физике. Долгопрудный, 2011. — с. 35, вывод формулы объёма n-мерной сферы через интеграл Эйлера-Пуассона-Гаусса